试题

题目：
青果学院（2003·黄浦区一模）已知△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AC=a，点P在△ABC的三条边上运动，
（1）求PA+PB+PC的最小值，并说明理由；
（2）比较线段PA+PC与线段PB的大小，并说明理由；
（3）当点P在边AB上（除去A、B两端点）上运动，若要PA、PB、PC三条线段所构成锐角三角形，PA的取值范围是多少，并说明理由．
答案
解：（1）答：PA+PB+PC的最小值为2a．
理由如下：
当点P与A重合时，PA+PB+PC=AC+AB
而AB＞AC，故PA+PB+PC＞2AC=2a
当点P在线段AC上运动时（不含A、C），PA+PB+PC=AC+PB，而PB＞AC，故PA+PB+PC＞2a
当P与C重合时，PA+PB+PC=AC+CB=2a，可见P在AC运动时PA+PB+PC的最小值是2a
同理，当点P在线段CB上运动时，PA+PB+PC的最小值为2a
当点P在线段AB上运动时，PA+PB+PC=AB+CP，而当CP⊥AB时，CP为最小值，其值为
2
2
a
∴PA+PB+PC=AB+CP≥
2
a+
2
2
a=
3
2
2
a＞2a
综上，PA+PB+PC的最小值为2a；

（2）答：当P在AC上运动时（P与C点不重合），PA+PC＜PB
当P与C点重合时，PA+PC=PB
当P在BC上运动时（P与C点不重合），PA+PC＞PB
当P在AB上运动时，设P0在线段AB上，且∠ACP0=15°
当P在AP0（不与P0重合时）时，PA+PC＜PB，当P在P0B（不与P0重合时）时，PA+PC＞PB
当P与P0重合时，PA+PC=PB，理由如下
当P在AC上运动时（P与C点不重合），PA+PC=AC=BC＜PB
当P与C点重合时，PA+PC=AC=BC=PB
当P在BC上运动时（P与C点不重合），PA＞AC=BC，而PB＜BC
∴PA+PC＞PB
如图1，在线段AB上取DB=AP0，连接CD，易证△AP0C≌△BDC
则CP0=CD，∠ACP0=∠BCD=15°
∴∠P0CD=60°∴△P0CD是正三角形，即P0D=P0C，因此当P与P0重合时，AP+PC=PB
当P在AP0（不与P0重合时）时，由于PC-P0C＜PP0=AP0-AP
∴PC+PA＜P0C+AP0=P0D+DB=P0B＜PB；
青果学院
如图2，当P在BP0（不与P0重合时）时，由于PP0+PC＞P0C=P0D
则PP0+PC+AP0＞P0C+AP0=P0D+DB=P0B＞PB
∴PA+PC＞PB；

（3）
3
2
-
6
6
a＜PA＜
6
-
2
2
a或
3
2
-
6
2
a＜PA＜
3
2
+
6
6
a．
理由如下：令P1为AB的中点，不妨设P在AP1上运动，要PA、PB、PC三条线段能构成三角形，须要PC-PA＜PB＜PA+PC
易见PB＞PC＞PA，则PC-PA＜PB
由（2）知，要使PA+PC＞PB，P应在P0B，即∠PCA＞15°
因为AP0=AP1-P1P0=
2
2
a-
2
2
a·cot60°=
2
2
a-
6
6
a=
3
2
-
6
6
a
即PA＞
3
2
-
6
6
a
又知当P从在PoB上从Po向P1运动时，PA，PB，PC构成的三角形从钝角变为直角，再变为锐角
若设PA=x，则PB=
2
a-x，PC2=（
2
2
a）2+（
2
2
a-x）2=a2-
2
ax+x2
若PA、PB、PC构成的三角形是直角三角形，则有PB2=PA2+PC2，即
（
2
a-x）2=a2-
2
ax+x2，x2+
2
ax-a2=0，因x＞0，所以x=
6
-
2
2
a
所以
3
2
-
6
6
a＜PA＜
6
-
2
2
a
同理可说明，当P在BP1上运动，要PA、PB、PC三条线段若能构成钝角三角形
须要
3
2
-
6
6
a＜PA＜
3
2
+
6
6
a
综上可得：
3
2
-
6
6
a＜PA＜
6
-
2
2
a或
3
2
-
6
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a＜PA＜
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+
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a．
解：（1）答：PA+PB+PC的最小值为2a．
理由如下：
当点P与A重合时，PA+PB+PC=AC+AB
而AB＞AC，故PA+PB+PC＞2AC=2a
当点P在线段AC上运动时（不含A、C），PA+PB+PC=AC+PB，而PB＞AC，故PA+PB+PC＞2a
当P与C重合时，PA+PB+PC=AC+CB=2a，可见P在AC运动时PA+PB+PC的最小值是2a
同理，当点P在线段CB上运动时，PA+PB+PC的最小值为2a
当点P在线段AB上运动时，PA+PB+PC=AB+CP，而当CP⊥AB时，CP为最小值，其值为
2
2
a
∴PA+PB+PC=AB+CP≥
2
a+
2
2
a=
3
2
2
a＞2a
综上，PA+PB+PC的最小值为2a；

（2）答：当P在AC上运动时（P与C点不重合），PA+PC＜PB
当P与C点重合时，PA+PC=PB
当P在BC上运动时（P与C点不重合），PA+PC＞PB
当P在AB上运动时，设P0在线段AB上，且∠ACP0=15°
当P在AP0（不与P0重合时）时，PA+PC＜PB，当P在P0B（不与P0重合时）时，PA+PC＞PB
当P与P0重合时，PA+PC=PB，理由如下
当P在AC上运动时（P与C点不重合），PA+PC=AC=BC＜PB
当P与C点重合时，PA+PC=AC=BC=PB
当P在BC上运动时（P与C点不重合），PA＞AC=BC，而PB＜BC
∴PA+PC＞PB
如图1，在线段AB上取DB=AP0，连接CD，易证△AP0C≌△BDC
则CP0=CD，∠ACP0=∠BCD=15°
∴∠P0CD=60°∴△P0CD是正三角形，即P0D=P0C，因此当P与P0重合时，AP+PC=PB
当P在AP0（不与P0重合时）时，由于PC-P0C＜PP0=AP0-AP
∴PC+PA＜P0C+AP0=P0D+DB=P0B＜PB；
青果学院
如图2，当P在BP0（不与P0重合时）时，由于PP0+PC＞P0C=P0D
则PP0+PC+AP0＞P0C+AP0=P0D+DB=P0B＞PB
∴PA+PC＞PB；

（3）
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a＜PA＜
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a或
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a＜PA＜
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+
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a．
理由如下：令P1为AB的中点，不妨设P在AP1上运动，要PA、PB、PC三条线段能构成三角形，须要PC-PA＜PB＜PA+PC
易见PB＞PC＞PA，则PC-PA＜PB
由（2）知，要使PA+PC＞PB，P应在P0B，即∠PCA＞15°
因为AP0=AP1-P1P0=
2
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a-
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a·cot60°=
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a-
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a=
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a
即PA＞
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a
又知当P从在PoB上从Po向P1运动时，PA，PB，PC构成的三角形从钝角变为直角，再变为锐角
若设PA=x，则PB=
2
a-x，PC2=（
2
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a）2+（
2
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a-x）2=a2-
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ax+x2
若PA、PB、PC构成的三角形是直角三角形，则有PB2=PA2+PC2，即
（
2
a-x）2=a2-
2
ax+x2，x2+
2
ax-a2=0，因x＞0，所以x=
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所以
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a＜PA＜
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a
同理可说明，当P在BP1上运动，要PA、PB、PC三条线段若能构成钝角三角形
须要
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综上可得：
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a．
考点梳理
等腰直角三角形；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质．
（1）由于本题P点的位置不确定，因此要分P与A重合，P在AC上，P与C重合，P在BC上，P在AB上五种情况进行讨论．主要根据三角形三边的关系进行求解；
（2）本题同（1）一样，也要分类进行讨论，也是根据三角形三边的关系进行求解．要注意的是P在AB上运动时，由于无法直接用三角形三边关系来求解，因此要通过构建特殊值来进行判断，以CA、CB为边C为顶点在两边各取一个15°角，设与AB的交点为P0和D，那么不难得出△ACP0≌△BCD，因此△P0CD是个等边三角形．
当P在AP0上运动时，PA+PC＜PA+AP0=PA+BD=PB，综合可得PA+PC＜PB；
当P与P0重合时，PC+PA=P0C+P0A=P0D+BD=PB，即PA+PC=PB；
当P在P0B上运动时，PA+PC=P0P+AP0+PC=P0P+PC+BD，由于P0P+PC＞P0C=P0D，因此PA+PC=P0P+PC+BD＞P0D+BD=PB；
（3）本题要考虑两种情况：
要使PA，PB，PC构成锐角三角形，首先要满足三边能组成一个三角形；
要求出PA，PB，PC构成直角三角形时PA的值；
根据上面两种情况求出的PA即可得出PA、PB、PC三条线段所构成锐角三角形时PA的取值范围．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形三边的关系、全等三角形的判定等知识点．综合性强，难度大．
动点型．
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