试题

已知抛物线的函数解析式为y=ax²+bx-3a（b＜0），若这条抛物线经过点（0，-3），方程ax²+bx-3a=0的两根为x₁，x₂，且|x₁-x₂|=4．
（1）求抛物线的顶点坐标．
（2）已知实数x＞0，请证明x+

1

x

≥2，并说明x为何值时才会有x+

1

x

=2．

解：（1）∵抛物线过（0，-3）点，∴-3a=-3∴a=1∴y=x²+bx-3
∵x²+bx-3=0的两根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-b，x₁·x₂=-3
∵|x₁-x₂|=4
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=4
∴

b2+12

=4
∴b²=4
∵b＜0
∴b=-2
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）
（2）∵x＞0，
∴x+

1

x

-2=(

x

-

1

x

)2≥0
∴x+

1

x

≥2，显然当x=1时，才有x+

1

x

=2．
解：（1）∵抛物线过（0，-3）点，∴-3a=-3∴a=1∴y=x²+bx-3
∵x²+bx-3=0的两根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-b，x₁·x₂=-3
∵|x₁-x₂|=4
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=4
∴

b2+12

=4
∴b²=4
∵b＜0
∴b=-2
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）
（2）∵x＞0，
∴x+

1

x

-2=(

x

-

1

x

)2≥0
∴x+

1

x

≥2，显然当x=1时，才有x+

1

x

=2．