试题

（2007·昌平区一模）（1）两个全等的等腰直角三角形ABC和三角形EDA如图1放置，点B，A，D在同一条直线上．那么点C，A，E在同一条直线上；
①在图1中，作∠ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF，垂足为F；
②猜想：线段BF，CE的关系，结论是：．
（2）将（1）中的“等腰直角三角形”换成“直角三角形”，其它条件不变，如图2，连接CE，请问你猜想的BF与CE的关系是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．

解：（1）①画图
②结论是：BF⊥CE，BF=

1

2

CE．

（2）如图，①证明BF=

1

2

CE
∵BF为∠ABC的平分线，∠ABC=90°
∴∠CBF=∠ABF=45°
∵DF⊥BF
∴∠F=90°
∵点B，A，D在同一条直线上，△BFD为直角三角形
∴cos∠FBD=

BF

BD

∴BF=

2 BD

2

又∵Rt△ABC≌Rt△EDA
∴BC=AD，BA=DE
设BC=AD=a，BA=DE=b
∴BD=a+b
∴BF=

2 (a+b)

2

过E作EH∥BD交CB的延长线于H
∵∠CBA=90°，∠ADE=90°
∴∠CBA=∠ADE
∴CH∥DE
∴四边形BHED为矩形
∴BH=DE=b，HE=BD=a+b
∴CH=a+b
∴△HCE等腰直角三角形
由勾股定理，得CE=

2

(a+b)
∴BF=

1

2

CE
②证明BF⊥CE
∵Rt△CHE是等腰直角三角形
∴∠HCE=∠HEC=45°
∵∠FBC=45°
∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°
∴BF⊥CE
∴BF⊥CE，BF=

1

2

CE
仍然成立．