试题

（2009·邯郸二模）两个等腰直角三角形ABC，ADE，如图①摆放（E点在AB上），连BD，取BD的中点P，连PC、PE，则有PC=PE，PC⊥PE．
（1）将△ADE绕点A逆时针方向旋转，使E点落在AC上，如图②，结论是否仍成立？请证明你的判断．如果你经过反复探索，没有找到解决问题的办法，可通过连接AP，延长PE或延长DE，延长AD，延长BC的途径来完成你的证明．
（2）如图③，当△ADE绕点A逆时针方向旋转30°时，连DC，若DC∥AB，求

AC

AD

的值．

解：（1）结论仍然成立．理由为：
连接AP，延长PE交AD于点M，
∵△ABC、△ADE均为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAE=45°，∴∠DAB=90°，
∵P为BD中点，∴PA=PB=PD，
在△APC和△BPC中，

PA=PB PC=PC AC=BC

，
∴△APC≌△BPC（SSS），
∴∠ACP=∠BCP=

1

2

∠ACB=45°，
同理可得△APE≌△DPE，
∴∠APE=∠DPE，∠PAE=∠PDE，
∴∠APE+∠PAE=∠DPE+∠PDE，即∠AEM=∠DEM=

1

2

∠AED=45°，
∴∠CEP=∠AEM=45°，
∴∠CPE=90°，
∴△CPE为等腰直角三角形，即PC=PE，PC⊥PE；


（2）过D作DF⊥AC，垂足为F，
∵DC∥AB，∴∠DCF=∠CAB=45°，
∴DF=CF，
在Rt△ADF中，∠DAF=30°，
设DF=k，则有AD=2k，AF=

3

k，
∴AC=AF+FC=

3

k+k=（

3

+1）k，
∴

AC

AD

=

( 3 +1)k

2k

=

3 +1

2

．
解：（1）结论仍然成立．理由为：
连接AP，延长PE交AD于点M，
∵△ABC、△ADE均为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAE=45°，∴∠DAB=90°，
∵P为BD中点，∴PA=PB=PD，
在△APC和△BPC中，

PA=PB PC=PC AC=BC

，
∴△APC≌△BPC（SSS），
∴∠ACP=∠BCP=

1

2

∠ACB=45°，
同理可得△APE≌△DPE，
∴∠APE=∠DPE，∠PAE=∠PDE，
∴∠APE+∠PAE=∠DPE+∠PDE，即∠AEM=∠DEM=

1

2

∠AED=45°，
∴∠CEP=∠AEM=45°，
∴∠CPE=90°，
∴△CPE为等腰直角三角形，即PC=PE，PC⊥PE；


（2）过D作DF⊥AC，垂足为F，
∵DC∥AB，∴∠DCF=∠CAB=45°，
∴DF=CF，
在Rt△ADF中，∠DAF=30°，
设DF=k，则有AD=2k，AF=

3

k，
∴AC=AF+FC=

3

k+k=（

3

+1）k，
∴

AC

AD

=

( 3 +1)k

2k

=

3 +1

2

．