试题
题目:
(2007·大连)两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA如图放置,点B、A、D在同一条直线上.
操作:在图中,作∠ABC的平分线BF,过点D作DF⊥BF,垂足为F,连接CE.证明BF⊥CE.
探究:线段BF、CE的关系,并证明你的结论.
说明:如果你无法证明探究所得的结论,可以将“两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA”改为“两个全等的等腰直角△ABC和等腰直角△EDA(点C、A、E在同一条直线上)”,其他条件不变,完成你的证明,此证明过程最多得2分.
答案
证明:2BF=CE,且BF⊥CE.
过点E作EG⊥CB的延长线于点G.可得BDEG是矩形,即BD=EG,BG=DE,
设BC=AD=m,AB=DE=n.
∵BF是∠ABC的平分线,
∴∠DBF=45°,
又∵DF⊥BF,
∴∠FDB=45°,
∴△BFD是等腰直角三角形,
∴BF
2
+DF
2
=BD
2
,BF
2
+BF
2
=(AB+AD)
2
=(m+n)
2
,
∴BF=
2
2
(m+n).
又∵△CGE也是直角三角形,
∴CE
2
=CG
2
+GE
2
=(CB+BG)
2
+BD
2
=(CB+DE)
2
+(AB+AD)
2
=(m+n)
2
+(m+n)
2
=2(m+n)
2
∴CE=
2
(m+n).
由此可得,2BF=CE;
∵∠GCE=∠CBF=45°,
∴CE⊥BF.
证明:2BF=CE,且BF⊥CE.
过点E作EG⊥CB的延长线于点G.可得BDEG是矩形,即BD=EG,BG=DE,
设BC=AD=m,AB=DE=n.
∵BF是∠ABC的平分线,
∴∠DBF=45°,
又∵DF⊥BF,
∴∠FDB=45°,
∴△BFD是等腰直角三角形,
∴BF
2
+DF
2
=BD
2
,BF
2
+BF
2
=(AB+AD)
2
=(m+n)
2
,
∴BF=
2
2
(m+n).
又∵△CGE也是直角三角形,
∴CE
2
=CG
2
+GE
2
=(CB+BG)
2
+BD
2
=(CB+DE)
2
+(AB+AD)
2
=(m+n)
2
+(m+n)
2
=2(m+n)
2
∴CE=
2
(m+n).
由此可得,2BF=CE;
∵∠GCE=∠CBF=45°,
∴CE⊥BF.
考点梳理
考点
分析
点评
专题
等腰直角三角形;勾股定理.
过点E作EG⊥CB的延长线于点G.可得△BFD和△CGE是等腰直角三角形,可得BF=
2
2
(AB+AD),CE=
2
(AB+AD),由此可得,2BF=CE.
此题考查了角平分线的定义和直角三角形的性质,作辅助线是关键.此题比较难.
作图题;压轴题.
找相似题
(2013·宿迁)在等腰△ABC中,∠ACB=90°,且AC=1.过点C作直线l∥AB,P为直线l上一点,且AP=AB.则点P到BC所在直线的距离是( )
(2012·乐山)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,点E、F分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合),且保持AE=CF,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,有下列结论:
①△DFE是等腰直角三角形;
②四边形CEDF不可能为正方形;
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化;
④点C到线段EF的最大距离为
2
.
其中正确结论的个数是( )
(2011·黑龙江)在△ABC中,BC:AC:AB=1:1:
2
,则△ABC是( )
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k
x
(k≠0)与△ABC有交点,则k的取值范围是( )