试题

题目：
青果学院如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2a，PB=a，∠ABC=45°，∠APC=60°，则AP的长是
（
3
+1）a
（
3
+1）a
．
答案
（
3
+1）a

青果学院解：如图，过点C作CD⊥AP于D，
∵∠APC=60°，
∴∠PCD=90°-60°=30°，
∴PD=
1
2
PC=a，
∵PB=a，
∴PD=PB=a，
∴∠BDP=∠DBP，
∵∠BDP+∠DBP=∠APC=60°，
∴∠BDP=∠DBP=30°，
∴∠DBP=∠PCD，
∴BD=CD=
PC2-PD2
=
(2a)2-a2
=
3
a，
又∵∠ABC=45°，∠DBP=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBP=45°-30°=15°，
∴∠BAD=∠BDP-∠ABD=30°-15°=15°，
∴∠BAD=∠ABD=15°，
∴AD=BD，
∴AD=BD=CD=
3
a，
∴AP=AD+PD=
3
a+a=（
3
+1）a．
故答案为：（
3
+1）a．
考点梳理
勾股定理；等腰直角三角形．
过点C作CD⊥AP于D，根据直角三角形两锐角互余求出∠PCD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PD=
1
2
PC=a，再根据等边对等角求出PD=PB=a，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDP=∠DBP=30°，从而得到∠DBP=∠PCD，根据等角对等边可得BD=CD，根据∠ABC=45°求出∠ABD=15°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAD=15°，从而得到∠BAD=∠ABD，根据等角对等边可得AD=BD，最后根据AP=AD+PD代入数据进行计算即可得解．
本题考查了勾股定理的应用，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边对等角和等角对等边，作辅助线构造出直角三角形和等腰三角形是解题的关键．
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