试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为一边，在△ABC的外部作△BCE，使△BCE是等腰直角三角形，求线段AE的长．
答案
解：①以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形EBC，
青果学院
∵∠ECB=90°，且CE=BC，
∴AE=AC+CE=2+2=4；
②以B为直角顶点，向外作等腰直角三角形BCE，
青果学院
连接AE，过点E作DE⊥AB，交AB的延长线于D．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BCE=90°，
∴∠DBE=45°，
又∵DE⊥BE，
∴∠EDB=90°，
∴BD=DE=2×
2
2
=
2
，
在Rt△BAC中，AB=
22+22
=2
2
，
∴AE=
AD2+DE2
=
(2
2
+
2
)2+(
2
)2
=2
5
；
③以BC为斜边，向外作等腰直角三角形BCE，
青果学院
∵∠BEC=90，BE=CE，且BC=2，
∴BE=CE=BCsin45°=2×
2
2
=
2
，
又∵△ABC、△BEC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠CBE=45°，
∴∠ABE=90°，
又∵在Rt△ABC中，AB=
22+22
=2
2
，
∴AE=
AB2+BE2
=
10
．
故AE的长等于4或2
5
或
10
．
解：①以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形EBC，
青果学院
∵∠ECB=90°，且CE=BC，
∴AE=AC+CE=2+2=4；
②以B为直角顶点，向外作等腰直角三角形BCE，
青果学院
连接AE，过点E作DE⊥AB，交AB的延长线于D．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BCE=90°，
∴∠DBE=45°，
又∵DE⊥BE，
∴∠EDB=90°，
∴BD=DE=2×
2
2
=
2
，
在Rt△BAC中，AB=
22+22
=2
2
，
∴AE=
AD2+DE2
=
(2
2
+
2
)2+(
2
)2
=2
5
；
③以BC为斜边，向外作等腰直角三角形BCE，
青果学院
∵∠BEC=90，BE=CE，且BC=2，
∴BE=CE=BCsin45°=2×
2
2
=
2
，
又∵△ABC、△BEC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠CBE=45°，
∴∠ABE=90°，
又∵在Rt△ABC中，AB=
22+22
=2
2
，
∴AE=
AB2+BE2
=
10
．
故AE的长等于4或2
5
或
10
．
考点梳理
勾股定理；等腰直角三角形．
分情况讨论，①以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形EBC；②以B为直角顶点，向外作等腰直角三角形BCE；③以BC为斜边，向外作等腰直角三角形BCE．分别画图，并求出AE．
考查了勾股定理和等腰直角三角形．分情况考虑问题，主要利用了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．
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