试题

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，O为AB的中点，点D为AB边上任意一点，以D为顶点作等腰直角三角形DEF，斜边EF经过点O，且使EO=OF，连结CF、BF、CD，很明显点C、F、O在同一条直线上
（1）请写出线段BF与CD的数量、位置关系，并证明；
（2）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图②，线段BF的延长线与CD相交于G点，求出∠OGD的度数．

解：（1）BF=CD，BF⊥CD．理由如下：
如图，∵在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点，
∴OB=OC=

1

2

AB．
同理，在等腰直角△EFD中，OF=OD=

1

2

EF．
∴在△BOF与△COD中，

OB=OC ∠BOF=∠COD=90° OF=OD

，
∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF=CD，∠FBO=∠DCO．
∴∠FBO+∠BFO=90°，∠BFO=∠CFG，
∴∠BGD=∠DCO+∠CFG=∠FBO+∠BFO=90°，即BF⊥CD；

（2）BF=CD．理由如下：
如图②所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，
∴OB=OC，∠BOC=90°．
∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，
∴OF=OD，∠DOF=90°．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
∵在△BOF与△COD中，

OB=OC ∠BOF=∠COD=90° OF=OD

，
∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF=CD；

（3）设OC交BG于点M，
由（2）可得△BOF≌△COD（SAS）
∴∠OBF=∠OCD，
∵∠OBF+∠OMB=90°，∠OMB=∠CMG，
∴∠OCD+∠CMG=90°，
∴∠BGC=90°，
∵∠BOC=∠BGC=90°
∴O，G，C，B四点共圆，
根据圆周角定理可得∠BGO=∠BCO，
∵∠BCO=45°，
∴∠BGO=45°，
∵∠BGC=90°，
∴∠BGD=90°，
∴∠OGD=∠BGD-∠BGO=45°．
故答案为：45°．