试题

同学拿了两块45°三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4．

（1）如图1，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为．
（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为，周长为．
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图3，请你猜想此时重叠部分的面积为．
（4）在如图3的情况下，AC交MN于D，MK交BC于E，若AD=1，求出重叠部分图形的周长．

解：（1）∵AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴AB=

AC2+BC2

=

42+42

=4

2

，
∵M是AB的中点，
∴AM=2

2

，
∵∠ACM=45°，
∴AM=MC，
∴重叠部分的面积是

2 2 ×2 2

2

=4，
∴周长为：AM+MC+AC=2

2

+2

2

+4=4+4

2

；

（2）∵叠部分是正方形，
∴边长为

1

2

×4=2，面积为2×2=4，
周长为2×4=8．

（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G，

∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a，
∴MH=

1

2

BC，
MG=

1

2

AC，
∴MH=MG，
又∵∠NMK=∠HMG=90°，
∴∠NMH+∠HMK=90°，∠GME+∠HMK=90°，
∴∠HMD=∠GME，
在△MHD和△MGE中，
∵

∠HMD=∠GME ∠DHM=∠EGM MH=MG

，
∴△MHD≌△MGE（ASA），
∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积，
∵正方形CGMH的面积是MG·MH=2×2=4；
∴阴影部分的面积是4；

（4）过点M作MG⊥BC于点G，MH⊥AC于点H，

∴四边形MGCH是矩形，
∴MH=CG，
∵∠A=45°，
∴∠AMH=45°，
∴AH=MH，
∴AH=CG，
在Rt△DHM和Rt△EGM中，

∠DMH=∠GME MH=MG ∠DHM=∠EGM

，
∴Rt△DHM≌Rt△EGM．
∴GE=DH，
∴AH-DH=CG-GE，
∴CE=AD，
∵AD=1，
∴DH=1，CE=1，CD=4-1=3，
∴DM=

5

∴四边形DMEC的周长为：
CE+CD+DM+ME
=1+3+

5

+

5

=4+2

5

．
故答案为：4，4+4

2

，4，8，4．