试题

题目：
青果学院如图，△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上．试问：在AB上是否存在点M，使△PQM为等腰直角三角形？若存在，求PQ的长；若不存在，请说明理由．
答案
解：AC=8，BC=6，由勾股定理得：AB=10，
设PC=x，
∵PQ∥AB，
∴
PQ
AB
=
CP
AC
，
∵PC=x，BC=10，AC=8，代入可求出PQ=
5x
4
，
∵△PQM为等腰直角三角形，
∴讨论哪个角为直角如下：
（1）当∠MPQ（2分）为直角时，则可得PQ=
5x
4
（3分），
∴PM=
5x
4
，（4分）
在△ABC中sinA=
BC
AB
=
3
5
，而在△PMA中sinA=
PM
PA
=
5x
4
8-x
，
∴得x=
96
37
，从而PQ=
5x
4
=
120
37
．（若∠MQP为直角类似）（5分）

（2）当∠PMQ为直角时，则可得PM=MQ=
5
2
x
8
，
过P作PN⊥AB于N，
易得PN=
1
2
PQ=
5x
8
，
同（1）得x=
192
49

∴PQ=
5x
4
=
240
49
．（10分）
解：AC=8，BC=6，由勾股定理得：AB=10，
设PC=x，
∵PQ∥AB，
∴
PQ
AB
=
CP
AC
，
∵PC=x，BC=10，AC=8，代入可求出PQ=
5x
4
，
∵△PQM为等腰直角三角形，
∴讨论哪个角为直角如下：
（1）当∠MPQ（2分）为直角时，则可得PQ=
5x
4
（3分），
∴PM=
5x
4
，（4分）
在△ABC中sinA=
BC
AB
=
3
5
，而在△PMA中sinA=
PM
PA
=
5x
4
8-x
，
∴得x=
96
37
，从而PQ=
5x
4
=
120
37
．（若∠MQP为直角类似）（5分）

（2）当∠PMQ为直角时，则可得PM=MQ=
5
2
x
8
，
过P作PN⊥AB于N，
易得PN=
1
2
PQ=
5x
8
，
同（1）得x=
192
49

∴PQ=
5x
4
=
240
49
．（10分）
考点梳理
等腰直角三角形．
由于PQ的位置是变化的，故可以使△PQM为等腰直角三角形，设PC=x，当△PQM为等腰直角三角形时，有三种情况：
1、当∠MPQ为直角时，可得到PM=PQ=
5
4
x，而在△ABC中sinA=
BC
AB
=
3
5
，而在△PMA中sinA=
PM
PA
=
5x
4
8-x
，建立方程可求得x的值，从而求得PQ的值．
2、若∠MQP为直角，与1类似；
3、当∠PMQ为直角时，则可得PQ=MQ=
5
2
x
8
，过P作PN⊥AB于N，易得PN=
1
2
PQ=
5x
8
，即可求得PQ的值．
本题利用了等腰直角三角形的性质，正弦的概念求解．
开放型．
找相似题