试题

如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA=PB，延长BO分别与⊙O切线PA相交于点C、Q两点．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求

AE

BE

的值．

（1）证明：连结OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
在△POA和△POB中

PA=PB OA=OB PO=PO

，
∴△POA≌△POB（SSS），
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；

（2）AB与OP交于H，连结DH，如图，
在Rt△OCA中，OQ=OC+CQ=3+2=5，OA=3，则AQ=

52-32

=4，
设PA=x，则PB=x，PQ=4+x，
在Rt△PBQ中，∵BQ²+BP²=PQ²，
∴8²+x²=（x+4）²，解得x=6，
∴PA=PB=6，
∵PA与PB为⊙O的切线，
∴OP平分∠BPA，
∴OP垂直平分AB，即点H为AB的中点，
∵D为PB的中点，
∴DH为△BAP的中位线，
∴DH=

1

2

PA=3，DH∥PA，
∵DH∥AQ，
∴△DHE∽△QEA，
∴

AE

HE

=

AQ

DH

=

4

3

，
设AE=4t，HE=3t，则AH=AE+HE=7t，
∴BE=BH+HE=AH+HE=7t+3t=10t，
∴

AE

BE

=

4t

10t

=

2

5

．
（1）证明：连结OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
在△POA和△POB中

PA=PB OA=OB PO=PO

，
∴△POA≌△POB（SSS），
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；

（2）AB与OP交于H，连结DH，如图，
在Rt△OCA中，OQ=OC+CQ=3+2=5，OA=3，则AQ=

52-32

=4，
设PA=x，则PB=x，PQ=4+x，
在Rt△PBQ中，∵BQ²+BP²=PQ²，
∴8²+x²=（x+4）²，解得x=6，
∴PA=PB=6，
∵PA与PB为⊙O的切线，
∴OP平分∠BPA，
∴OP垂直平分AB，即点H为AB的中点，
∵D为PB的中点，
∴DH为△BAP的中位线，
∴DH=

1

2

PA=3，DH∥PA，
∵DH∥AQ，
∴△DHE∽△QEA，
∴

AE

HE

=

AQ

DH

=

4

3

，
设AE=4t，HE=3t，则AH=AE+HE=7t，
∴BE=BH+HE=AH+HE=7t+3t=10t，
∴

AE

BE

=

4t

10t

=

2

5

．