试题

如图，以△ABC的直角边AB为直径的半圆O与斜边AC交于点D，E是BC边的中点．若AD、AB的长是方程x²-6x+8=0的两个根，则图中阴影部分的面积为．

解：x²-6x+8=0，
（x-2）（x-4）=0，
∴x-2=0，x-4=0，
解得x₁=2，x₂=4，
∴AD=2，AB=4，
∵AB是直径，
∴AO=BO=

1

2

AB=2，
连接OD，则AO=OD=AD=2，
∴△AOD是等边三角形，
连接BD，则BD⊥AC，
∵E是BC边的中点，
∴DE=BE=

1

2

BC，
连接OE，则OE是线段BD的垂直平分线，
在Rt△AOD中，BD=

AB2+AD2

=

42-22

=2

3

，
∵∠A=∠A，∠ADB=∠ABC=90°，
∴△ABC∽△ADB，
∴

BC

BD

=

AB

AD

，
即

BC

2 3

=

4

2

，
解得BC=4

3

，
BE=

1

2

BC=2

3

，
∴S_{四边形OBED}=2S_△OBE=2×

1

2

×2×2

3

=4

3

，
又∠BOD=180°-∠AOD=180°-60°=120°，
∴S_扇形BOD=

120°·π·22

360°

=

4

3

π，
∴阴影部分的面积=S_{四边形OBED}-S_扇形BOD=4

3

-

4

3

π．
故答案为：4

3

-

4

3

π．