试题

如图，等腰△ABC中，AC=BC=6，AB=8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）连接BG，求sin∠GBC的值．

（1）证明：如图，连接OD，则 OD=OB
∴∠CBA=∠ODB．
∵AC=BC，
∴∠CBA=∠A．
∴∠ODB=∠A．
∵OD∥AC，
∴∠ODE=∠CFE．
∵DF⊥AC于F，
∴∠CFE=90°．
∴∠ODE=90°．
∴OD⊥EF．
∴EF是⊙O的切线．

解：（ 2 ）∵BC是直径，
∴∠BGC=90°，
设 CG=x，则 AG=AC-CG=6-x．
在Rt△BGA中，BG²=AB²-AG²=8²-（6-x）²．
在Rt△BGC中，BG²=BC²-CG²=6²-x²．
则8²-（6-x）²=6²-x²．
解得  x=

2

3

，即CG=

2

3

．
在Rt△BGC中，sin∠GBC=

GC

BC

=

1

9

．
（1）证明：如图，连接OD，则 OD=OB
∴∠CBA=∠ODB．
∵AC=BC，
∴∠CBA=∠A．
∴∠ODB=∠A．
∵OD∥AC，
∴∠ODE=∠CFE．
∵DF⊥AC于F，
∴∠CFE=90°．
∴∠ODE=90°．
∴OD⊥EF．
∴EF是⊙O的切线．

解：（ 2 ）∵BC是直径，
∴∠BGC=90°，
设 CG=x，则 AG=AC-CG=6-x．
在Rt△BGA中，BG²=AB²-AG²=8²-（6-x）²．
在Rt△BGC中，BG²=BC²-CG²=6²-x²．
则8²-（6-x）²=6²-x²．
解得  x=

2

3

，即CG=

2

3

．
在Rt△BGC中，sin∠GBC=

GC

BC

=

1

9

．