试题

题目：
青果学院直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，DE⊥MN于点E．
（1）判断DE是否为⊙O的切线，并说明理由．
（2）当DE是4cm，AE是2cm时，求⊙O的半径．
答案
青果学院解：（1）DE是⊙O的切线（1分）．
连接OD，在⊙O中，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD（2分），
而AD平分∠CAM，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴OD∥MN（3分），
而DE⊥MN，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线（4分）；

（2）在Rt△DEA中DE=4，AE=2中，
∴AD=2
5
（5分），
在⊙O中AC是直径，
∴∠CDA=90°=∠DEA，
而∠CAD=∠DAE，
∴△CAD∽△DAE（6分），
∴
CA
DA
=
DA
EA
，
即
CA
2
5
=
2
5
2
（7分），
∴CA=10，
∴⊙O的半径是5cm．（8分）
青果学院解：（1）DE是⊙O的切线（1分）．
连接OD，在⊙O中，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD（2分），
而AD平分∠CAM，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴OD∥MN（3分），
而DE⊥MN，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线（4分）；

（2）在Rt△DEA中DE=4，AE=2中，
∴AD=2
5
（5分），
在⊙O中AC是直径，
∴∠CDA=90°=∠DEA，
而∠CAD=∠DAE，
∴△CAD∽△DAE（6分），
∴
CA
DA
=
DA
EA
，
即
CA
2
5
=
2
5
2
（7分），
∴CA=10，
∴⊙O的半径是5cm．（8分）
考点梳理
相似三角形的判定与性质；切线的判定与性质．
（1）根据角平分线的定义及等腰三角形的性质求出∠ODA=∠EAD，从而判断出OD∥MN，再根据切线的判定定理即可证明．
（2）在Rt△DEA中，利用勾股定理求出AD的长，再判断出△CAD∽△DAE，利用相似三角形的对应边成比例即可解答．
此题考查了相似三角形的判定与性质及切线的判定和性质，将圆与三角形结合是常见的题型．
探究型．
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