试题

题目：
青果学院已知：如图，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径为2，sin∠B=
1
2
，求BC的长．
答案
青果学院（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵sin∠B=
1
2
，
∴∠B=30°，
∵AB=4，
∴BD=AB·cos30°=4×
3
2
=2
3
，
∵BD=DC，
∴BC=4
3
．
青果学院（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵sin∠B=
1
2
，
∴∠B=30°，
∵AB=4，
∴BD=AB·cos30°=4×
3
2
=2
3
，
∵BD=DC，
∴BC=4
3
．
考点梳理
切线的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．
（1）连接OD，AD，由AB是⊙O的直径，可证AD⊥BC，又AB=AC，则BD=DC，所以OD是△ABC的中位线，可证OD∥AC，由DE⊥AC，得OD⊥DE，故可证DE是⊙O的切线；
（2）在Rt△ABD中，由sin∠B=
1
2
，得∠B=30°，已知AB=4，解直角三角形可得BD的长，由BC=2BD求解．
本题考查了圆的切线的判定与性质，解直角三角形的知识．关键是充分运用垂直证明切线，构造直角三角形，解直角三角形．
证明题．
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