试题

如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D．交⊙O于点A，延长AD与⊙0交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；    
（2）若tan∠F=

1

2

，求cos∠ACB的值．

解：（l）证明：连接OB，
∵PB与圆O相切，
∴PB⊥OB，即∠OBP=90°，
∵OP⊥AB，
∴D为AB中点，即OP垂直平分AB，
∴PA=PB，
∵在△OAP和△OBP中，

AP=BP OP=OP OA=OB

，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴AP⊥OA，
则直线PA为⊙O的切线；

（2）连接AE，则∠FAE=90°．
∵tan∠F=

1

2

，
∴

AE

AF

=

1

2

，
∴可设AE=x，AF=2x，
则由勾股定理，得
EF=

AF2+AE2

=

5

x，
∵

1

2

AE·AF=

1

2

EF·AD，
∴AD=

2 5

5

x．
又∵AB⊥EF，
∴AB=2AD=

4 5

5

x，
∴Rt△ABC中，AC=

5

x，AB=

4 5

5

x，
∴BC=

3 5

5

x
∴cos∠ACB=

BC

AC

=

3

5

．
解：（l）证明：连接OB，
∵PB与圆O相切，
∴PB⊥OB，即∠OBP=90°，
∵OP⊥AB，
∴D为AB中点，即OP垂直平分AB，
∴PA=PB，
∵在△OAP和△OBP中，

AP=BP OP=OP OA=OB

，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴AP⊥OA，
则直线PA为⊙O的切线；

（2）连接AE，则∠FAE=90°．
∵tan∠F=

1

2

，
∴

AE

AF

=

1

2

，
∴可设AE=x，AF=2x，
则由勾股定理，得
EF=

AF2+AE2

=

5

x，
∵

1

2

AE·AF=

1

2

EF·AD，
∴AD=

2 5

5

x．
又∵AB⊥EF，
∴AB=2AD=

4 5

5

x，
∴Rt△ABC中，AC=

5

x，AB=

4 5

5

x，
∴BC=

3 5

5

x
∴cos∠ACB=

BC

AC

=

3

5

．