试题

如图，PA为⊙O的切线，B、D为⊙O上的两点，如果∠APB=60°，∠ADB=60°．
（1）试判断直线PB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果D点是优弧AB上的一个动点，当PA=6

3

且四边形ADBP是菱形时，求扇形OAMD的面积．

解：（1）直线PB与⊙O相切．理由如下：
如图1，连接OP、OB、OA．
∵∠ABD=60°，
∴∠AOB=2∠ADB=120°．
又∵∠APB=60°，
∴∠APB+∠AOB=180°，
∴点P、B、O、A四点共圆，
∴∠PBO+∠PAO=180°．
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠PBO=90°，即OB⊥PB．
又∵OB是⊙O的半径，
∴直线PB与⊙O相切；

（2）如图2，连接AB、PD、OA．
∵四边形ADBP是菱形，
∴PD⊥AB，
∴由垂径定理知，直线PD经过圆心O，
∴∠DPA=

1

2

∠BPA=30°．
又∵∠PAO=90°，PA=6

3

，
∴∠DOA=120°，OA=PA·tan∠DPA=6

3

×

3

3

=6，
∴S_扇形OAMD=

120π×OA2

360

=

120π×36

360

=12π；
解：（1）直线PB与⊙O相切．理由如下：
如图1，连接OP、OB、OA．
∵∠ABD=60°，
∴∠AOB=2∠ADB=120°．
又∵∠APB=60°，
∴∠APB+∠AOB=180°，
∴点P、B、O、A四点共圆，
∴∠PBO+∠PAO=180°．
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠PBO=90°，即OB⊥PB．
又∵OB是⊙O的半径，
∴直线PB与⊙O相切；

（2）如图2，连接AB、PD、OA．
∵四边形ADBP是菱形，
∴PD⊥AB，
∴由垂径定理知，直线PD经过圆心O，
∴∠DPA=

1

2

∠BPA=30°．
又∵∠PAO=90°，PA=6

3

，
∴∠DOA=120°，OA=PA·tan∠DPA=6

3

×

3

3

=6，
∴S_扇形OAMD=

120π×OA2

360

=

120π×36

360

=12π；