试题

题目：
青果学院已知：如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点P，且P为BC中点，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：AB=AC；
（3）若∠CAB=120°，BC=4，求⊙O的直径．
答案
青果学院证明：连接OP，AP，
（1）∵P为BC中点，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴PD⊥OP，
∴PD是⊙O的切线；

（2）∵OP∥AC，
∴∠C=∠BPO，
∵OB=OP，
∴∠B=∠BPO，
∴∠C=∠B，
∴AB=AC；

（3）∵∠CAB=120°，∠C=∠B=30°，
在Rt△ABP中，∵BC=4，
∴BP=2，
∴cos∠B=
PB
AB
，
∴AB=
PB
cos30°
=
2
3
2
=
4
3
3
．
青果学院证明：连接OP，AP，
（1）∵P为BC中点，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴PD⊥OP，
∴PD是⊙O的切线；

（2）∵OP∥AC，
∴∠C=∠BPO，
∵OB=OP，
∴∠B=∠BPO，
∴∠C=∠B，
∴AB=AC；

（3）∵∠CAB=120°，∠C=∠B=30°，
在Rt△ABP中，∵BC=4，
∴BP=2，
∴cos∠B=
PB
AB
，
∴AB=
PB
cos30°
=
2
3
2
=
4
3
3
．
考点梳理
切线的判定与性质；圆周角定理．
（1）连接OP、AP，根据题意得OP为△ABC的中位线，则OP∥AC，从而得出OP⊥PD；
（2）由OP∥AC，则∠C=∠BPO，从而得出∠C=∠B，则AB=AC；
（3）由∠CAB=120°，得∠B=30°，在Rt△ABP中，利用∠B的余弦值求得⊙O的直径．
本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理，三角函数的定义的综合运用，是重点内容，要熟练掌握．
计算题．
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