试题

题目：
如图，△ABC中，∠BAC的平分线AD交△ABC的外接圆⊙O于点D，交BC于点G，过点D作EF青果学院∥BC，分别交AB、AC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）已知：CD=2，AG=3，求
AB
BE
的值．
答案
青果学院（1）证明：连接OD，
∵∠BAD=∠CAD，
∴弧BD与弧CD相等，
∴OD⊥BC，
∵EF∥BC，
∴OD⊥EF，所以，EF为⊙O的切线．

（2）解：∵∠DCG=∠BAD，∠BAD=∠DAC，
∴∠DCG=∠DAC
∵∠CDG=∠ADC，
∴△DCG∽△DAC，
∴
DC
DA
=
DG
DC
，
设DG=x，则x（x+3）=4，取正根，得x=1，所以DG=1，
∵EF∥BC，
∴
AB
BE
=
AG
GD
=3．
青果学院（1）证明：连接OD，
∵∠BAD=∠CAD，
∴弧BD与弧CD相等，
∴OD⊥BC，
∵EF∥BC，
∴OD⊥EF，所以，EF为⊙O的切线．

（2）解：∵∠DCG=∠BAD，∠BAD=∠DAC，
∴∠DCG=∠DAC
∵∠CDG=∠ADC，
∴△DCG∽△DAC，
∴
DC
DA
=
DG
DC
，
设DG=x，则x（x+3）=4，取正根，得x=1，所以DG=1，
∵EF∥BC，
∴
AB
BE
=
AG
GD
=3．
考点梳理
切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
（1）连接OD，由题意得弧BD与弧CD相等，由OD⊥BC，则EF为⊙O的切线．
（2）由题意得∠DCG=∠DAC，可证得△DCG∽△DAC，则
DC
DA
=
DG
DC
，设DG=x，则x（x+3）=4，从而得出DG=1，则求得
AB
BE
的值．
本题考查了切线的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．
几何综合题．
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