试题

题目：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O交AC于E，青果学院连DE、BE，BE平分∠ABC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求证：AE2=AD·AB；
（3）若AD=6，AE=6
2
，求BC的长．
答案
青果学院（1）证明：连接OE，
∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠1=∠EBC，
∵∠C=90°，BD为⊙O的直径，
∴∠DEB=90°，
∴∠5=∠3，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠4，
∴∠2+∠3=90°，
∴AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）证明：∵AC是△BDE的外接圆的切线，
∴∠AEO=90°，
∴∠AED+∠4=90°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠DEB=90°，
∴∠1+∠5=90°，
∵∠4=∠5，
∴∠AED=∠1，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ADB，
∴
AE
AB
=
AD
AE
，
∴AE2=AD·AB；

（3）解：由（2）知AE2=AD·AB，
∵AD=6，AE=6
2
，
∴AB=12，
∴BD=6，
∵△AED∽△ABE，
∴
AE
AB
=
DE
BE
=
6
12
=
1
2
，
∴BE=
12
5
5
，
∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠1=∠EBC，
∵∠C=90°，
又∵BD为⊙O的直径，
∴∠DEB=90°，
∴△DBE∽△EBC，
∴
BC
BE
=
BE
BD
，
即：
BC
12
5
5
= 
12
5
5
6

∴BC=
24
5
．
青果学院（1）证明：连接OE，
∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠1=∠EBC，
∵∠C=90°，BD为⊙O的直径，
∴∠DEB=90°，
∴∠5=∠3，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠4，
∴∠2+∠3=90°，
∴AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）证明：∵AC是△BDE的外接圆的切线，
∴∠AEO=90°，
∴∠AED+∠4=90°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠DEB=90°，
∴∠1+∠5=90°，
∵∠4=∠5，
∴∠AED=∠1，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ADB，
∴
AE
AB
=
AD
AE
，
∴AE2=AD·AB；

（3）解：由（2）知AE2=AD·AB，
∵AD=6，AE=6
2
，
∴AB=12，
∴BD=6，
∵△AED∽△ABE，
∴
AE
AB
=
DE
BE
=
6
12
=
1
2
，
∴BE=
12
5
5
，
∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠1=∠EBC，
∵∠C=90°，
又∵BD为⊙O的直径，
∴∠DEB=90°，
∴△DBE∽△EBC，
∴
BC
BE
=
BE
BD
，
即：
BC
12
5
5
= 
12
5
5
6

∴BC=
24
5
．
考点梳理
切线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）根据切线的判定定理，垂直经过半径外端直线是圆的切线，连接OE，只要得出EO⊥EC即可得出；
（2）证明△AED∽△ADB，利用相似的性质得：对应边的比值相等可证得AE2=AD·AB；
（3）由（2）可得AB的值，进而求出BD的值，利用勾股定理再求出BE的值，再证明△DBE∽△EBC，即可求出BC的长．
此题主要考查了切线的判定定理与相似三角形的判定和性质定理，此定理是初中阶段非常重要的定理，同学们应正确把握此定理．
几何综合题．
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