试题

如图：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长，与BC相交于点E．
（1）若BC=

3

，CD=1，求⊙O的半径；
（2）取BE的中点F，连接DF，求证：DF是⊙O的切线．

解：（1）设⊙O的半径为r，
∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
在Rt△OBC中，∵OC²=OB²+CB²，
∴（r+1）²=r²+（

3

）²，
解得r=1，
∴⊙O的半径为1；                    
（2）连接OF，
∵OA=OB，BF=EF，
∴OF是△BAE的中位线，
∴OF∥AE，
∴∠A=∠2，
又∵∠BOD=2∠A，
∴∠1=∠2，
在△OBF和△ODF中，

OB=OD ∠1=∠2 OF=OF

∴△OBF≌△ODF，
∴∠ODF=∠OBF=90°，
即OD⊥DF，
∴FD是⊙O的切线．
解：（1）设⊙O的半径为r，
∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
在Rt△OBC中，∵OC²=OB²+CB²，
∴（r+1）²=r²+（

3

）²，
解得r=1，
∴⊙O的半径为1；                    
（2）连接OF，
∵OA=OB，BF=EF，
∴OF是△BAE的中位线，
∴OF∥AE，
∴∠A=∠2，
又∵∠BOD=2∠A，
∴∠1=∠2，
在△OBF和△ODF中，

OB=OD ∠1=∠2 OF=OF

∴△OBF≌△ODF，
∴∠ODF=∠OBF=90°，
即OD⊥DF，
∴FD是⊙O的切线．