试题

题目：
青果学院如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，（点D在⊙O外）AC平分∠BAD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DC、AB的延长线相交于点E，且DE=12，AD=9，求BE的长．
答案
（1）证明：连接OC，青果学院
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=
92+122
=15，
∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴
OC
AD
=
EO
AE
，
∴
OC
9
=
15-OC
15
，
解得：OC=
45
8
，
∴BE=AE-2OC=15-2×
45
8
=
15
4
，
答：BE的长是
15
4
．
（1）证明：连接OC，青果学院
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=
92+122
=15，
∵OC∥AD，
∴△ECO∽△EDA，
∴
OC
AD
=
EO
AE
，
∴
OC
9
=
15-OC
15
，
解得：OC=
45
8
，
∴BE=AE-2OC=15-2×
45
8
=
15
4
，
答：BE的长是
15
4
．
考点梳理
切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）连接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线的判定判断即可；
（2）根据勾股定理求出AE，根据△ECO∽△EDA，得出比例式，求出圆的半径，即可求出答案．
本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，切线的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，两小题题型都很好，都具有一定的代表性．
计算题；证明题；几何综合题．
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