试题

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E，D，连接EC，CD．
（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）求证：BC²=BD·BE；
（3）若tanE=

1

2

，⊙O的半径为3，求OA的长．

解：（1）AB与⊙O相切，连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∵点C在⊙O上，
∴AB与⊙O相切

（2）连接OC，∵OC⊥AB，
∴∠OCB=90°即∠1+∠3=90°，
又∵DE为⊙O的直径，
∴∠ECD=90°即∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵OE=OC，
∴∠E=∠2，
∴∠1=∠E，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BEC，
∴

BC

BE

=

BD

BC

，
∴BC²=BD·BE；

（3）∵tanE=

1

2

，∠ECD=90°，
∴

CD

EC

=

1

2

，
∵⊙O的半径为3，
∴OC=OE=3，
∵△BCD∽△BEC，
∴

BC

BE

=

CD

EC

，设BC=x，
∴

x

OB+3

=

1

2

，
∴OB=2x-3，
∵∠OCB=90°，
∴OC²+BC²=OB²，
∴9+x²=（2x-3）²，
∴x₁=0（舍去），x₂=4，
∴OA=OB=5．
解：（1）AB与⊙O相切，连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∵点C在⊙O上，
∴AB与⊙O相切

（2）连接OC，∵OC⊥AB，
∴∠OCB=90°即∠1+∠3=90°，
又∵DE为⊙O的直径，
∴∠ECD=90°即∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵OE=OC，
∴∠E=∠2，
∴∠1=∠E，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BEC，
∴

BC

BE

=

BD

BC

，
∴BC²=BD·BE；

（3）∵tanE=

1

2

，∠ECD=90°，
∴

CD

EC

=

1

2

，
∵⊙O的半径为3，
∴OC=OE=3，
∵△BCD∽△BEC，
∴

BC

BE

=

CD

EC

，设BC=x，
∴

x

OB+3

=

1

2

，
∴OB=2x-3，
∵∠OCB=90°，
∴OC²+BC²=OB²，
∴9+x²=（2x-3）²，
∴x₁=0（舍去），x₂=4，
∴OA=OB=5．