试题

如图，△ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，CM是圆O的切线，D是CM上一点，连接BD，若∠DBC=∠CAB，
（1）求证：BD是圆O的切线；
（2）若∠ABC=30°，OA=4，求BD的长．

（1）证明：∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵∠DBC=∠CAB，
∴∠CBA+∠DBC=90°，即∠ABD=90°．
∴BD是圆O切线；

（2）解：∵∠ABC=30°，OA=4，
∴AC=

1

2

AB=4，BC=

AB2-AC2

=4

3

．
∵DC、DB是圆O切线，
∴DC=DB，
∵∠DBC=∠DBA，∠DBA=60°，
∴△DCB是等边三角形，
∴BD=BC=4

3

．
（1）证明：∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵∠DBC=∠CAB，
∴∠CBA+∠DBC=90°，即∠ABD=90°．
∴BD是圆O切线；

（2）解：∵∠ABC=30°，OA=4，
∴AC=

1

2

AB=4，BC=

AB2-AC2

=4

3

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∵DC、DB是圆O切线，
∴DC=DB，
∵∠DBC=∠DBA，∠DBA=60°，
∴△DCB是等边三角形，
∴BD=BC=4

3

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