试题

（2008·平谷区一模）如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠A=30°，AB=8，F是OB的中点，连接DF并延长交⊙O于G，求弦DG的长．

（本题6分）
（1）证明：连接OD．
∵OA=OD，∴∠A=∠1．
∵BA=BC，∴∠A=∠C．
∴∠1=∠C．
∵DE⊥BC，垂足为E，
∴∠2+∠C=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∴∠ODE=90°．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线．（3分）

（2）解：连接BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠A=30°，AB=8，
∴DB=4，∠ABD=60°．（4分）
∵OD=OB，
∴△ODB是等边三角形．
∵F是OB的中点，
∴DG⊥AB．
∴FD=FG．（5分）
在Rt△BDF中，∠ABD=60°．
∴DF=BD·sin60°=2

3

．
∴DG=4

3

．（6分）
（本题6分）
（1）证明：连接OD．
∵OA=OD，∴∠A=∠1．
∵BA=BC，∴∠A=∠C．
∴∠1=∠C．
∵DE⊥BC，垂足为E，
∴∠2+∠C=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∴∠ODE=90°．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线．（3分）

（2）解：连接BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠A=30°，AB=8，
∴DB=4，∠ABD=60°．（4分）
∵OD=OB，
∴△ODB是等边三角形．
∵F是OB的中点，
∴DG⊥AB．
∴FD=FG．（5分）
在Rt△BDF中，∠ABD=60°．
∴DF=BD·sin60°=2

3

．
∴DG=4

3

．（6分）