试题

（2009·大港区二模）在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D，DE⊥DB交AB于点E．
（Ⅰ）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
（Ⅱ）求⊙O的半径；
（Ⅲ）设⊙O交BC于点F，连接EF，求

EF

AC

的值．

（1）证明：如右图所示，连接OD，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴弧DE=弧DF，
又∵OD是半径，
∴OD⊥EF，
∵DE⊥DB，
∴∠BDE=90°，
∴BE是直径，
∴∠BFE=90°，
∴EF⊥BC，
∴OD∥BC，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ADO=∠ACB=90°，
∴AD是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径是x，
在Rt△ABC中，AB=

BC2+AC2

=15，
∴AO=15-x，
∵OD∥BC，
∴AO：AB=OD：BC，
∴（15-x）：15=x：9，
解得x=

45

8

；

（3）解：∵BE是直径，
∴∠BFE=90°，
∴∠ACB=∠BFE，
∴EF∥AC，
∴EF：AC=BE：AB，
∴

EF

AC

=

45 8 ×2

15

=

3

4

．
（1）证明：如右图所示，连接OD，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴弧DE=弧DF，
又∵OD是半径，
∴OD⊥EF，
∵DE⊥DB，
∴∠BDE=90°，
∴BE是直径，
∴∠BFE=90°，
∴EF⊥BC，
∴OD∥BC，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ADO=∠ACB=90°，
∴AD是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径是x，
在Rt△ABC中，AB=

BC2+AC2

=15，
∴AO=15-x，
∵OD∥BC，
∴AO：AB=OD：BC，
∴（15-x）：15=x：9，
解得x=

45

8

；

（3）解：∵BE是直径，
∴∠BFE=90°，
∴∠ACB=∠BFE，
∴EF∥AC，
∴EF：AC=BE：AB，
∴

EF

AC

=

45 8 ×2

15

=

3

4

．