试题

一位同学拿了两块45°三角尺△MNK，△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=4．
（1）如图（1），两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为，周长为．
（2）将图（1）中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图（2），此时重叠部分的面积为，周长为．
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为．

解：（1）∵AC=BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=

42+42

=4

2

，
∵M是AB的中点，
∴CM⊥AB，AM=CM=

1

2

AB=

1

2

×4

2

=2

2

，
∴阴影部分的面积=

1

2

AM·CM=

1

2

×2

2

×2

2

=4，
周长=AB+AM+CM=4+2

2

+2

2

=4+4

2

；

（2）设MN与AC的交点为D，BC与MK的交点为G，
∵旋转角是45°，
∴∠AMD=45°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴∠AMD=∠B=45°，
∴DM∥BC，
∵M是AB的中点，
∴DM是△ABC的中位线，
∴DM=

1

2

BC=

1

2

×4=2，
同理可得，MG=

1

2

AC=

1

2

×4=2，
∴四边形DCGM是正方形，
∴阴影部分的面积=2²=4，
周长=2×4=8；

（3）如图，过点M作ME⊥AC于E，作MF⊥BC于F，
∵M是等腰直角△ABC斜边AB的中点，
∴四边形ECMF是正方形，
∴ME=MF，
∵∠DME+∠EMG=∠NMK=90°，
∠GMF+∠EMG=∠EMF=90°，
∴∠DME=∠GMF，
在△DME和△GMF中，

∠DME=∠GMF ME=MF ∠DEM=∠GFM=90°

，
∴△DME≌△GMF（ASA），
∴S_△DME=S_△GMF，
∴阴影部分的面积=正方形ECMF的面积，
∵M是AB的中点，
∴ME是△ABC的中位线，
∴ME=

1

2

BC=

1

2

×4=2，
∴正方形ECMF的面积=2²=4，
∴阴影部分的面积=4．
故答案为：（1）4，4+4

2

；（2）4，8；（3）4．