试题

（2011·东城区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．
（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADE=

5

6

，求AE的值．

解：（1）CD与圆O相切．（1分）
证明：连接OD，则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°．（2分）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠CDO=∠AOD=90°．
∴OD⊥CD．（3分）
∴CD与圆O相切．

（2）连接BE，则∠ADE=∠ABE．
∴sin∠ADE=sin∠ABE=

5

6

．（4分）
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°，AB=2×3=6．
在Rt△ABE中，sin∠ABE=

AE

AB

=

5

6

．
∴AE=5．
解：（1）CD与圆O相切．（1分）
证明：连接OD，则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°．（2分）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠CDO=∠AOD=90°．
∴OD⊥CD．（3分）
∴CD与圆O相切．

（2）连接BE，则∠ADE=∠ABE．
∴sin∠ADE=sin∠ABE=

5

6

．（4分）
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°，AB=2×3=6．
在Rt△ABE中，sin∠ABE=

AE

AB

=

5

6

．
∴AE=5．