试题

（2011·房山区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC=2，BD=

5

2

，求

AD

AO

的值．

解：（1）直线BD与⊙O相切．
证明：如图1，连接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°．
又∵∠CBD=∠A，
∴∠ADO+∠CDB=90°．
∴∠ODB=90°．
∴直线BD与⊙O相切．

（2）解法一：如图1，连接DE．
∵∠C=90°，BC=2，BD=

5

2

∴cos∠CBD=

BC

BD

=

4

5

．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°．
∴cosA=

AD

AE

．
∵∠CBD=∠A，
∴

AD

AE

=

BC

BD

=

4

5

．
∵AE=2AO，
∴

AD

AO

=

8

5

．

解法二：如图2，过点O作OH⊥AD于点H．
∴AH=DH=

1

2

AD．
∴cosA=

AH

AO

∵∠C=90°，BC=2，BD=

5

2

∴cos∠CBD=

BC

BD

=

4

5

．
∵∠CBD=∠A，
∴

AH

AO

=

BC

BD

=

4

5

．
∴

AD

AO

=

8

5

．
解：（1）直线BD与⊙O相切．
证明：如图1，连接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°．
又∵∠CBD=∠A，
∴∠ADO+∠CDB=90°．
∴∠ODB=90°．
∴直线BD与⊙O相切．

（2）解法一：如图1，连接DE．
∵∠C=90°，BC=2，BD=

5

2

∴cos∠CBD=

BC

BD

=

4

5

．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°．
∴cosA=

AD

AE

．
∵∠CBD=∠A，
∴

AD

AE

=

BC

BD

=

4

5

．
∵AE=2AO，
∴

AD

AO

=

8

5

．

解法二：如图2，过点O作OH⊥AD于点H．
∴AH=DH=

1

2

AD．
∴cosA=

AH

AO

∵∠C=90°，BC=2，BD=

5

2

∴cos∠CBD=

BC

BD

=

4

5

．
∵∠CBD=∠A，
∴

AH

AO

=

BC

BD

=

4

5

．
∴

AD

AO

=

8

5

．