试题

（2011·建邺区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点O为底边上的中点，以点O为圆心，1为半径的半圆与边AB相切于点D．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当∠A=60°时，求图中阴影部分的面积．

解：（1）直线AC与⊙O相切．（1分）
理由是：连接OD，过点O作OE⊥AC，垂足为点E．
∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB．（2分）
∵AB=AC，点O为底边上的中点，
∴AO平分∠BAC（3分）
又∵OD⊥AB，OE⊥AC
∴OD=OE（4分）
∴OE是⊙O的半径．
又∵OE⊥AC，
∴直线AC与⊙O相切．（5分）

（2）∵AO平分∠BAC，且∠BAC=60°，
∴∠OAD=∠OAE=30°，
∴∠AOD=∠AOE=60°，
在Rt△OAD中，∵tan∠OAD=

OD

AD

，
∴AD=

OD

tan∠OAD

=

3

，同理可得AE=

3

，
∴S_{四边形ADOE}=

1

2

×OD×AD×2=

1

2

×1×

3

×2=

3

，（6分）
又∵S_扇形形ODE=

120π×12

360

=

1

3

π，（7分）
∴S_阴影=S_{四边形ADOE}-S_扇形形ODE=

3

-

1

3

π．（8分）
解：（1）直线AC与⊙O相切．（1分）
理由是：连接OD，过点O作OE⊥AC，垂足为点E．
∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB．（2分）
∵AB=AC，点O为底边上的中点，
∴AO平分∠BAC（3分）
又∵OD⊥AB，OE⊥AC
∴OD=OE（4分）
∴OE是⊙O的半径．
又∵OE⊥AC，
∴直线AC与⊙O相切．（5分）

（2）∵AO平分∠BAC，且∠BAC=60°，
∴∠OAD=∠OAE=30°，
∴∠AOD=∠AOE=60°，
在Rt△OAD中，∵tan∠OAD=

OD

AD

，
∴AD=

OD

tan∠OAD

=

3

，同理可得AE=

3

，
∴S_{四边形ADOE}=

1

2

×OD×AD×2=

1

2

×1×

3

×2=

3

，（6分）
又∵S_扇形形ODE=

120π×12

360

=

1

3

π，（7分）
∴S_阴影=S_{四边形ADOE}-S_扇形形ODE=

3

-

1

3

π．（8分）