试题

（2011·兰州一模）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．
（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；
（2）若OB=BG=1，求CD的长．

解：（1）直线FC与⊙O相切；
证明：连接OC，
∵直径AB垂直于弦CD，
∵将△ACE沿AC翻折得到△ACF，
∴∠F=∠CEA=90°，∠FAC=∠EAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AF，
∴OC⊥FG，
∴直线FC与⊙O相切；

（2）在Rt△OCG中，cos∠COG=

OC

OG

=

OC

2OB

=

1

2

，
∴∠COG=60°．                                        
在Rt△OCE中，CE=OC·sin60°=1×

3

2

=

3

2

．       
∵直径AB垂直于弦CD，
∴CD=2CE=

3

．
解：（1）直线FC与⊙O相切；
证明：连接OC，
∵直径AB垂直于弦CD，
∵将△ACE沿AC翻折得到△ACF，
∴∠F=∠CEA=90°，∠FAC=∠EAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AF，
∴OC⊥FG，
∴直线FC与⊙O相切；

（2）在Rt△OCG中，cos∠COG=

OC

OG

=

OC

2OB

=

1

2

，
∴∠COG=60°．                                        
在Rt△OCE中，CE=OC·sin60°=1×

3

2

=

3

2

．       
∵直径AB垂直于弦CD，
∴CD=2CE=

3

．