试题

题目：
青果学院（2011·顺义区一模）已知：如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，D为BC边的中点，连接DP．
（1）DP是⊙O的切线；
（2）若cosA=
3
5
，⊙O的半径为5，求DP的长．
答案
解：（1）证明：连接OP和BP，
∵AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，青果学院
∴∠APB=90°，AB⊥BC，
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°
在Rt△BPC中，D为BC边的中点
∴BD=PD
∴∠BPD=∠PBD
∵OB=OP
∴∠OPB=∠OBP
∴∠OPD=∠OPB+∠BPD=∠OBP+∠PBD=∠ABC=90°
即PD⊥OP
∴DP是⊙O的切线

（2）连接OD青果学院
在Rt△ABC中
∵cosA=
3
5
，⊙O的半径为5
∴AC=
AB
cosA
=
50
3

∵OA=OB，DC=DB
∴OD=
1
2
AC=
25
3
，
在Rt△OPD中，PD=
OD2-OP2
=
(
25
3
)2-52
=
20
3
．
解：（1）证明：连接OP和BP，
∵AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，青果学院
∴∠APB=90°，AB⊥BC，
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°
在Rt△BPC中，D为BC边的中点
∴BD=PD
∴∠BPD=∠PBD
∵OB=OP
∴∠OPB=∠OBP
∴∠OPD=∠OPB+∠BPD=∠OBP+∠PBD=∠ABC=90°
即PD⊥OP
∴DP是⊙O的切线

（2）连接OD青果学院
在Rt△ABC中
∵cosA=
3
5
，⊙O的半径为5
∴AC=
AB
cosA
=
50
3

∵OA=OB，DC=DB
∴OD=
1
2
AC=
25
3
，
在Rt△OPD中，PD=
OD2-OP2
=
(
25
3
)2-52
=
20
3
．
考点梳理
切线的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．
（1）连接OP和BP，可证出∠BPD=∠PBD，再由OB=OP得出∠OPB=∠OBP，从而得出∠OPD=90°，从而证出DP是⊙O的切线；
（2）连接OD，在Rt△ABC中，可求得AC，再根据三角形的中位线定理得出OD的长，则求出DP的长．
本题是一道综合题，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和解直角三角形，熟练掌握切线的判定定理和三角函数是解此题的关键．
几何综合题．
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