试题

（2011·延平区质检）如图，RT△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE为圆的切线；
（2）若BC=5，sin∠C=

3

5

，求AD的长．

（1）证明：连接OD、BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠BDC=180°-90°=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=

1

2

BC=BE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠EBD+∠DBO=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE是圆0的切线．

（2）解：∵sin∠C=

3

5

，
∴设AB=3x，AC=5x，
根据勾股定理得：（3x）²+5²=（5x）²，
解得x=

5

4

．
AC=5×

5

4

=

25

4

．
由切割线定理可知：5²=（

25

4

-AD）

25

4

，
解得，AD=

9

4

．
（1）证明：连接OD、BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠BDC=180°-90°=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=

1

2

BC=BE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠EBD+∠DBO=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE是圆0的切线．

（2）解：∵sin∠C=

3

5

，
∴设AB=3x，AC=5x，
根据勾股定理得：（3x）²+5²=（5x）²，
解得x=

5

4

．
AC=5×

5

4

=

25

4

．
由切割线定理可知：5²=（

25

4

-AD）

25

4

，
解得，AD=

9

4

．