试题

（2004·太原）已知：如图，在△ABC中，∠B=90度．O是BA上一点，以O为圆心、OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1．设P是线段BA上的动点（P与A、B不重合），BP=x．
（1）求BE的长；
（2）求x为何值时，以P、A、D为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）在点P的运动过程中，PD与△PBC的外接圆能否相切？若能，请证明；若不能，请说明理由；
（4）请再提出一个与动点P有关的数学问题，并直接写出答案．

解：（1）∵AD与⊙O相切于点D，
∴AD²=AE·AB；
由AD=2，AE=1，得AB=4；
∴BE=AB-AE=3；

（2）①以A为顶角顶点时，AP₁=AD=2，x=BP₁=BA-P₁A=2；
②以P为顶角顶点时，作AD的垂直平分线P₂F交AB于P₂；
连接OD，则OD⊥AD，且OD∥P₂F；
∴P₂A=

1

2

OA=

5

4

x=BA-P₂A=

11

4

；
③以D为顶角顶点时，DP₃=DA=2，过D作DM⊥AB于M，则DM∥BC；
由BC²+AB²=（AD+DC）²，得BC=DC=3，AM=

8

5

，AP₃=2AM=

16

5

，
∴x=BA-P₃A=2AM=

4

5

，
综上所述，当x等于2、

11

4

、

4

5

时，△APD是等腰三角形；

（3）PD与△PBC的外接圆不能相切；
理由：假设PD与△PBC的外接圆相切，
则PD⊥PC，
在Rt△PBC中，PC＞BC（直角三角形中，斜边大于直角边）
在Rt△PCD中，CD＞PC（直角三角形中，斜边大于直角边）
而BC=CD，与上面的矛盾，所以，不存在．
（4）答案不唯一，如：
①x为何值时，以P、D、A为顶点的三角形与△ABC相似；
答：当x=

3

2

或

12

5

时，以P、D、A为顶点的三角形与△ABC相似．
②当x为何值时，PD+PC的和最小；
答：当x=

12

7

时，PD+PC的和最小．
解：（1）∵AD与⊙O相切于点D，
∴AD²=AE·AB；
由AD=2，AE=1，得AB=4；
∴BE=AB-AE=3；

（2）①以A为顶角顶点时，AP₁=AD=2，x=BP₁=BA-P₁A=2；
②以P为顶角顶点时，作AD的垂直平分线P₂F交AB于P₂；
连接OD，则OD⊥AD，且OD∥P₂F；
∴P₂A=

1

2

OA=

5

4

x=BA-P₂A=

11

4

；
③以D为顶角顶点时，DP₃=DA=2，过D作DM⊥AB于M，则DM∥BC；
由BC²+AB²=（AD+DC）²，得BC=DC=3，AM=

8

5

，AP₃=2AM=

16

5

，
∴x=BA-P₃A=2AM=

4

5

，
综上所述，当x等于2、

11

4

、

4

5

时，△APD是等腰三角形；

（3）PD与△PBC的外接圆不能相切；
理由：假设PD与△PBC的外接圆相切，
则PD⊥PC，
在Rt△PBC中，PC＞BC（直角三角形中，斜边大于直角边）
在Rt△PCD中，CD＞PC（直角三角形中，斜边大于直角边）
而BC=CD，与上面的矛盾，所以，不存在．
（4）答案不唯一，如：
①x为何值时，以P、D、A为顶点的三角形与△ABC相似；
答：当x=

3

2

或

12

5

时，以P、D、A为顶点的三角形与△ABC相似．
②当x为何值时，PD+PC的和最小；
答：当x=

12

7

时，PD+PC的和最小．