试题

（2012·达州）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若AF=1，OA=2

2

，求PC的长．


（1）证明：连接OC，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵OA=OC（圆的半径相等），
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO，
∵FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，
∴FA⊥AB，
∴∠FCO=∠FAO=90°，
∵CO是半径，
∴PC是⊙O的切线；

（2）解：∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO=90°，
又∵∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，
∴△PAF∽△PCO，
∴

PA

PC

=

AF

CO

∵CO=OA=2

2

，AF=1，
∴PC=2

2

PA，
设PA=x，则PC=2

2

x．
在Rt△PCO中，由勾股定理得：(2

2

x)2+(2

2

)2=(x+2

2

)2，
解得：x=

4 2

7

，
∴PC=2

2

×

4 2

7

=

16

7

．
（1）证明：连接OC，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵OA=OC（圆的半径相等），
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO，
∵FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，
∴FA⊥AB，
∴∠FCO=∠FAO=90°，
∵CO是半径，
∴PC是⊙O的切线；

（2）解：∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO=90°，
又∵∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，
∴△PAF∽△PCO，
∴

PA

PC

=

AF

CO

∵CO=OA=2

2

，AF=1，
∴PC=2

2

PA，
设PA=x，则PC=2

2

x．
在Rt△PCO中，由勾股定理得：(2

2

x)2+(2

2

)2=(x+2

2

)2，
解得：x=

4 2

7

，
∴PC=2

2

×

4 2

7

=

16

7

．