试题

题目:
青果学院如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点是BC的中点,两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F.给出以下五个结论:
(1)AE=CF;(2)∠APE=∠CPF;(3)三角形EPF是等腰直角三角形;(4)S四边形AEPF=
1
2
S△ABC;(5)EF=AP,
其中正确的有
4
4
个.
答案
4

解:(1)∵∠EPA+∠FPA=∠EPF=90°,∠CPF+∠FPA=90°,
∴∠APE=∠CPF.故(1)正确.
∵AB=AC,∠BAC=90°,青果学院
∴∠B=∠C=45°.
∵P是BC的中点,
∴BP=CP=AP=
1
2
BC.∠BAP=∠CAP=45°.
∴.∠BAP=∠C.
在△AEP和△CFP中
∠APE=∠CPF
AP=CP
∠BAP=∠C

∴△AEP≌△CFP(ASA),
∴AE=CF,PE=PF,S△AEP=S△CFP,故(2)正确.
∴△EPF是等腰直角三角形.故(3)正确.
∵S四边形AEPF=S△APE+S△APF
∴S四边形AEPF=S△CPF+S△APF=S△FAE=
1
2
S△ABC.故(4)正确.
∵△ABC是等腰直角三角形,P是BC的中点,
∴AP=
1
2
BC,
∵EF不是△ABC的中位线,
∴EF≠AP,故(5)错误;
∴正确的共有4个.
故答案为4.
考点梳理
全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
(1)通过证明△AEP≌△CFP就可以得出AE=CF,
(2)由∠EPA+∠FPA=90°,∠CPF+∠FPA=90°,就可以得出结论;
(3)由△AEP≌△CFP就可以PE=PF,即可得出结论;
(4)由S四边形AEPF=S△APE+S△APF.就可以得出S四边形AEPF=S△CPF+S△APF,就可以得出结论,
(5)由条件知AP=
1
2
BC,当EF是△ABC的中位线时才有EF=AP,其他情况EF≠AP.
本题考查了等腰直角三角形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,中位线的性质的运用,等腰直角三角形的判定定理的运用,三角形面积公式的运用,解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键.
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