试题

题目：
（2009·奉贤区一模）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过x轴上点A（1，0）和点B（3，0），且与y轴相交于点C．
（1）求此二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）求∠CPB的正弦值．
答案
解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过x轴上点A（1，0）和点B（3，0），
∴
1+b+c=0
9+3b+c=0
，
解得
b=-4
c=3
，
∴此二次函数的解析式为y=x2-4x+3．
∵-
b
2a
=2，
4ac-b2
4a
=-1，
∴顶点P的坐标为（2，-1）．

（2）∵y=x2-4x+3，
∴当x=0时，y=3．
∴点C的坐标为（0，3）．
又∵点P的坐标为（2，-1），点B的坐标为（3，0），
∴PB=
(3-2)2+(0+1)2
=
2
，
BC=
32+32
=3
2
，
PC=
22+(3+1)2
=2
5
，
∴PB2+BC2=PC2，
∴∠PBC=90°，
∴sin∠CPB=
BC
PC
=
3
2
2
5
=
3
10
10
．
解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过x轴上点A（1，0）和点B（3，0），
∴
1+b+c=0
9+3b+c=0
，
解得
b=-4
c=3
，
∴此二次函数的解析式为y=x2-4x+3．
∵-
b
2a
=2，
4ac-b2
4a
=-1，
∴顶点P的坐标为（2，-1）．

（2）∵y=x2-4x+3，
∴当x=0时，y=3．
∴点C的坐标为（0，3）．
又∵点P的坐标为（2，-1），点B的坐标为（3，0），
∴PB=
(3-2)2+(0+1)2
=
2
，
BC=
32+32
=3
2
，
PC=
22+(3+1)2
=2
5
，
∴PB2+BC2=PC2，
∴∠PBC=90°，
∴sin∠CPB=
BC
PC
=
3
2
2
5
=
3
10
10
．
考点梳理
待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义．
（1）将点A（1，0）和点B（3，0）的坐标分别代入y=x2+bx+c，用待定系数法即可求得二次函数的解析式；再利用顶点公式求出其顶点坐标．
（2）首先根据二次函数的解析式求出点C的坐标，再分别计算PB、BC、PC的长度，然后由勾股定理的逆定理，知△PBC是直角三角形，最后根据正弦三角函数的定义求出∠CPB的正弦值．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线的顶点坐标的方法及正弦的定义．
在利用待定系数法求二次函数的关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
求抛物线的顶点坐标，可用顶点坐标公式，抛物线的顶点坐标为（-
b
2a
，
4ac-b2
4a
）；也可以将解析式配方成顶点式来求．
在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边比斜边．
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