试题

（2010·金山区二模）在直角坐标平面内，O为原点，二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A（-1，0）和点B（0，3），顶点为P．
（1）求二次函数的解析式及点P的坐标；
（2）如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标．

解：（1）由题意，得

-1-b+c=0 c=3

，（2分）
解得：b=2，c=3，（1分）
∴二次函数的解析式是y=-x²+2x+3，（1分）
变形为：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴点P的坐标是（1，4）；（2分）

（2）P（1，4），A（-1，0），
∴AP²=20．（1分）
设点Q的坐标是（x，0），
则AQ²=（x+1）²，PQ²=（x-1）²+16，（1分）
当∠AQP=90°时，AQ²+PQ²=AP²，（x+1）²+（x-1）²+16=20，
解得x₁=1，x₂=-1（不合题意，舍去）
∴点Q的坐标是（1，0）．（2分）
当∠APQ=90°时，AP²+PQ²=AQ²，20+（x+1）²+16=（x+1）²，
解得x=9，
∴点Q的坐标是（9，0）．（2分）
当∠PAQ=90°时，不合题意．
综上所述，所求点Q的坐标是（1，0）或（9，0）．
解：（1）由题意，得

-1-b+c=0 c=3

，（2分）
解得：b=2，c=3，（1分）
∴二次函数的解析式是y=-x²+2x+3，（1分）
变形为：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴点P的坐标是（1，4）；（2分）

（2）P（1，4），A（-1，0），
∴AP²=20．（1分）
设点Q的坐标是（x，0），
则AQ²=（x+1）²，PQ²=（x-1）²+16，（1分）
当∠AQP=90°时，AQ²+PQ²=AP²，（x+1）²+（x-1）²+16=20，
解得x₁=1，x₂=-1（不合题意，舍去）
∴点Q的坐标是（1，0）．（2分）
当∠APQ=90°时，AP²+PQ²=AQ²，20+（x+1）²+16=（x+1）²，
解得x=9，
∴点Q的坐标是（9，0）．（2分）
当∠PAQ=90°时，不合题意．
综上所述，所求点Q的坐标是（1，0）或（9，0）．