试题

已知二次函数y=

1

2

x2+bx+c的图象经过点A（-3，6）、B（m，0）、C（3，0），并且m＜3，D为抛物线的顶点．
（1）求b，c，m的值；
（2）设点P是线段OC上一点，点O是坐标原点，且满足∠PDC=∠BAC，求点P的坐标．

解：（1）把A（-3，6）、C（3，0）代入解析式得，2c-6b=3①，2c+6b=-9②，
解由①②组成的方程组得，b=-1，c=-

3

2

；
抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-x-

3

2

，
令y=0，则

1

2

x²-x-

3

2

=0，解得，x₁=3，x₂=-1，而m＜3，所以m=-1，
所以b=-1，c=-

3

2

，m=-1；

（2）由B（-1，0），C（3，0），得对称轴为直线x=1，所以D点坐标为（1，-2），
∴sin∠PCD=

2

2

∴∠PCD=45°，
由A（-3，6）、C（3，0），得∠ACB=45°；
∵∠PDC=∠BAC，
∴△ABC∽△DPC，
∴BC·DC=AC·PC，
而BC=4，AC=6

2

，DC=2

2

，
∴PC=

4

3

，则OP=3-

4

3

=

5

3

，
所以P点坐标为（

5

3

，0）．
解：（1）把A（-3，6）、C（3，0）代入解析式得，2c-6b=3①，2c+6b=-9②，
解由①②组成的方程组得，b=-1，c=-

3

2

；
抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-x-

3

2

，
令y=0，则

1

2

x²-x-

3

2

=0，解得，x₁=3，x₂=-1，而m＜3，所以m=-1，
所以b=-1，c=-

3

2

，m=-1；

（2）由B（-1，0），C（3，0），得对称轴为直线x=1，所以D点坐标为（1，-2），
∴sin∠PCD=

2

2

∴∠PCD=45°，
由A（-3，6）、C（3，0），得∠ACB=45°；
∵∠PDC=∠BAC，
∴△ABC∽△DPC，
∴BC·DC=AC·PC，
而BC=4，AC=6

2

，DC=2

2

，
∴PC=

4

3

，则OP=3-

4

3

=

5

3

，
所以P点坐标为（

5

3

，0）．