试题

题目：
如图1，直线l1：y=2x与直线l2：y=-3x+6相交于点A，直线l2与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n分别交直线l1、直线l2于P、Q两点（点P在Q的左侧）
（1）点A的坐标为
（
6
5
，
12
5
）
（
6
5
，
12
5
）
；
（2）如图1，若点P在线段AO上，在x轴上是否存在一点H，使得△PQH为等腰直角三角形，若存在，求出点H的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2．若以点P为直角顶点，向下作等腰直角△PQF，设△PQF与△AOB重叠部分的面积为S，求S与n的函数关系式；并注明n的取值范围．
青果学院
答案
（
6
5
，
12
5
）

青果学院解：（1）∵直线l1：y=2x与直线l2：y=-3x+6相交于点A，
∴2x=-3x+6，
解得：x=
6
5
，
∴y=
12
5
，
∴点A的坐标为（
6
5
，
12
5
）；

（2）令y=n，则n=2x，
∴x=
1
2
n，
∴点P（
1
2
n，n），
n=-3x+6，
∴x=2-
1
3
n，
∴点Q（2-
1
3
n，n），
∴PQ=2-
1
3
n-
1
2
n=2-
5
6
n，
作PH⊥x轴于H，如图1． 当PH=PQ时△PQH为等腰直角三角形，
∴2-
5
6
n=n，
n=
12
11
，
1
2
×
12
11
=
6
11
，
∴H1（
6
11
，0），
作QH⊥x轴于H，如图（备用图），当QH=PQ时△PQH为等腰直角三角形，
同理可得n=
12
11
2-
1
3
×
12
11
=
18
11
，
∴H2（
18
11
，0），
当PH=HQ且∠PHQ=90°时，△PQH为等腰直角三角形HG⊥PQ，可得PQ=2HG，
∴2-
5
6
n=2n，n=
12
17
，
1
2
×
12
17
=
6
17
，2-
1
3
×
12
17
=
30
17
，
  
1
2
(
6
17
+
30
17
)=
18
17
，
∴H3（
18
17
，0），
∴H点的坐标为（
6
11
，0），（
18
11
，0），（
18
17
，0）；

（3）当
6
11
≤n＜
6
5
时，
∴S=
1
2
PQ2=
1
2
(2-
5
6
n)2，
当0≤n＜
18
11
时，2-
5
6
n-n=2-
11
6
n，
∴S=
1
2
(2-
5
6
n+2-
11
6
n)·n=-
4
3
n2+2n．
考点梳理
一次函数综合题；点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征；两条直线相交或平行问题；三角形的面积；等腰直角三角形．
（1）利用两直线相交的性质，使两式相等即可得出答案；
（2）首先表示出PQ的长度，进而得出当PH=HQ且∠PHQ=90°时以及 当PH=PQ时△PQH为等腰直角三角形，分别求出即可；
（3）分别根据当
6
11
≤n＜
6
5
时以及当0≤n＜
18
11
时表示出△PQF与△AOB重叠部分的面积即可．
此题主要考查了一次函数的综合应用以及等腰直角三角形的性质，根据数形结合进行分类讨论是解题关键，注意不要漏解．
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