试题

（2011·自贡）已知抛物线y=ax²+2x+3（a≠0）有如下两个特点：①无论实数a怎样变化，其顶点都在某一条直线l上；②若把顶点的横坐标减少

1

a

，纵坐标增大

1

a

分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加

1

a

，纵坐标增加

1

a

分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y=ax²+2x+3（a≠0）上．
（1）求出当实数a变化时，抛物线y=ax²+2x+3（a≠0）的顶点所在直线l的解析式；
（2）请找出在直线l上但不是该抛物线顶点的所有点，并说明理由；
（3）你能根据特点②的启示，对一般二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）提出一个猜想吗？请用数学语言把你的猜想表达出来，并给予证明．

解：（1）取a=1，得抛物线y=x²+2x+3，
其顶点为P₁（-1，2）．
取a=-1，得抛物线y=-x²+2x+3，
其顶点为P₂（1，4）．
由题意有P₁、P₂在直线l上，设直线l的解析式为y=kx+b，则

-k+b=2 k+b=4

解得：

k=1 b=3

∴直线l的解析式为y=x+3．

（2）∵抛物线y=ax²+2x+3的顶点P坐标为(-

1

a

，3-

1

a

)．
显然P(-

1

a

，3-

1

a

)在直线y=x+3上．
又-

1

a

能取到除0以外的所有实数，
∴在y=x+3上仅有一点（0，3）不是该抛物线的顶点．

（3）猜想：对于抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），将其顶点的横坐标减少

1

a

，纵坐标增加

1

a

分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加

1

a

，纵坐标增加

1

a

分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上．证明如下：
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∴点A的坐标为(-

b+2

2a

，

4ac-b2+4

4a

)，
点B的坐标为(

-b+2

2a

，

4ac-b2+4

4a

)．
∵x=-

b+2

2a

时，y=ax2+bx+c=a(

-b+2

2a

)2+b(

-b+2

2a

)+c=

4ac-b2+4

4a

∴点A(-

b+2

2a

，

4ac-b2+4

4a

)在抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），
同理有B(

-b+2

2a

，

4ac-b2+4

4a

)也在抛物线上，故结论成立．
解：（1）取a=1，得抛物线y=x²+2x+3，
其顶点为P₁（-1，2）．
取a=-1，得抛物线y=-x²+2x+3，
其顶点为P₂（1，4）．
由题意有P₁、P₂在直线l上，设直线l的解析式为y=kx+b，则

-k+b=2 k+b=4

解得：

k=1 b=3

∴直线l的解析式为y=x+3．

（2）∵抛物线y=ax²+2x+3的顶点P坐标为(-

1

a

，3-

1

a

)．
显然P(-

1

a

，3-

1

a

)在直线y=x+3上．
又-

1

a

能取到除0以外的所有实数，
∴在y=x+3上仅有一点（0，3）不是该抛物线的顶点．

（3）猜想：对于抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），将其顶点的横坐标减少

1

a

，纵坐标增加

1

a

分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加

1

a

，纵坐标增加

1

a

分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）上．证明如下：
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∴点A的坐标为(-

b+2

2a

，

4ac-b2+4

4a

)，
点B的坐标为(

-b+2

2a

，

4ac-b2+4

4a

)．
∵x=-

b+2

2a

时，y=ax2+bx+c=a(

-b+2

2a

)2+b(

-b+2

2a

)+c=

4ac-b2+4

4a

∴点A(-

b+2

2a

，

4ac-b2+4

4a

)在抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），
同理有B(

-b+2

2a

，

4ac-b2+4

4a

)也在抛物线上，故结论成立．