试题

已知二次函数y=ax²+bx+c，当x=3，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的线段长为4，试求二次函数的表达式．

解：设抛物线与x轴的交点的横坐标为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-

b

a

，
x₁·x₂=

c

a

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2-4ac

a2

=4，①
而x=3时取得最大值10，
∴-

b

2a

=3，②

4ac-b2

4a

=10，③
联立①②③解得：
a=-

5

2

，b=15，c=-

25

2

．
则该抛物线的解析式为：y=-

5

2

x²+15x-

25

2

．
解：设抛物线与x轴的交点的横坐标为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-

b

a

，
x₁·x₂=

c

a

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2-4ac

a2

=4，①
而x=3时取得最大值10，
∴-

b

2a

=3，②

4ac-b2

4a

=10，③
联立①②③解得：
a=-

5

2

，b=15，c=-

25

2

．
则该抛物线的解析式为：y=-

5

2

x²+15x-

25

2

．