试题

（创新学习）如图，在△OAB中，∠B=90°，∠BOA=30°，OA=4，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，C点的坐标为（0，4）．
（1）求A′点的坐标；
（2）求过C，A′，A三点的抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以O，A，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）过点A'作A'D垂直于x轴，垂足为D，
则四边形OB'A'D为矩形．
在△A'DO中，A'D=OA'·sin∠A′OD=4×sin60°=2

3

，OD=A'B'=AB=2，
∴点A'的坐标为（2，2

3

）．

（2）∵C（0，4）在抛物线上，∴c=4，
∴y=ax²+bx+4．
∵A（4，0），A′（2，2

3

）在抛物线y=ax²+bx+4上，
∴

16a+4b+4=0 4a+2b+4=2 3

解之得：

a= 1- 3 2 b=2 3 -3

．
∴所求解析式为y=

1- 3

2

x2+(2

3

-3)x+4．

（3）①若以点O为直角顶点，由于OC=OA=4，点C在抛物线上，则点C（0，4）为满足条件的点．
②若以点A为直角顶点，则使△PAO为等腰直角三角形的点P的坐标应为（4，4）或（4，-4），经计算知；此两点不在抛物线上．
③若以点P为直角顶点，则使△PAO为等腰直角三角形的点P的坐标应为（2，2）或（2，-2），经计算知；此两点也不在抛物线上．
综上述在抛物线上只有一点P（0，4）使△OAP为等腰直角三角形．