试题

已知二次函数y=x²-2bx+b²+c的图象与直线y=1-x只有一个公共点，并且顶点在二次函数y=ax²（a≠0）的图象上，求a的取值范围．

解：∵二次函数y=x²-2bx+b²+c①的图象与直线y=1-x②只有一个公共点，
∴由①②组成的方程组只有一组解，把②代入①，整理得，x²+（1-2b）x+b²+c-1=0，
∴△=0，即（1-2b）²-4（b²+c-1）=0，得4b+4c=5③，
又∵二次函数y=x²-2bx+b²+c的图象的顶点坐标为（b，c），而顶点在二次函数y=ax²（a≠0）的图象上，
∴c=ab²④，
由③④得，4ab²+4b-5=0，（a≠0）
∴△≥0，即16+4×4a×5≥0，解得a≥-

1

5

，
所以a的取值范围为a≥-

1

5

，且a≠0．
解：∵二次函数y=x²-2bx+b²+c①的图象与直线y=1-x②只有一个公共点，
∴由①②组成的方程组只有一组解，把②代入①，整理得，x²+（1-2b）x+b²+c-1=0，
∴△=0，即（1-2b）²-4（b²+c-1）=0，得4b+4c=5③，
又∵二次函数y=x²-2bx+b²+c的图象的顶点坐标为（b，c），而顶点在二次函数y=ax²（a≠0）的图象上，
∴c=ab²④，
由③④得，4ab²+4b-5=0，（a≠0）
∴△≥0，即16+4×4a×5≥0，解得a≥-

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所以a的取值范围为a≥-

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，且a≠0．