试题

题目:
青果学院如图,在等腰直角三角形ABC中,AD为斜边上的高,以D为端点任作两条垂直的射线与两腰相交于E,F两点,连接EF与AD相交于G,若∠AED=110°,则∠AGF=
110°
110°

答案
110°

解:∵△BAC是等腰直角三角形(∠BAC=90°),D为BC中点,
∴AD平分∠BAC,AD=BD=DC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠45°,∠ADC=90°,
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=∠ADC=90°,
∴∠ADF+∠CDF=90°,∠CDF+∠BDE=90°,
∴∠ADF=∠BDE,
在△BDE和△ADF中
∠B=∠DAF
BD=AD
∠BDE=∠ADF

∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴DE=DF,
∵∠EDF=90°,
∴∠DEF=45°=∠EFD,
∵∠AED=110°,∠EAD=∠FED=45°,
∴∠AGF=∠AEG+∠EAG=(110°-45°)+45°=110°,
故答案为:110°.
考点梳理
全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
根据等腰直角三角形得出AD平分∠BAC,AD=BD=DC,AD⊥BC,推出∠BAD=∠DAC=∠B=∠45°,∠ADC=90°,求出∠ADF=∠BDE,根据ASA证△BDE≌△ADF,推出DE=DF,根据等腰直角三角形得出∠DEF=45°=∠EFD,根据三角形的外角性质求出即可.
本题考查了等腰直角三角形,全等三角形的性质和判定,主要培养学生运用定理进行推理的能力,题目比较好,但有一定的难度.
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