试题

题目：
已知△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AB上一点，BE=12，F为AC上一点，FC=5，且∠EDF=90°，求EF的长度．
答案
青果学院解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，AB=AC，
∴AD⊥BC，AD=BD=CD，
∴∠BDE+∠ADE=90°，
∠ADF+∠ADE=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE和△ADF中，
∵
∠B=∠DAF=45°
AD=BD
∠BDE=∠ADF
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴AF=BE，DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵BE=12，FC=5，
∴AC=AF+FC=BE+FC=12+5=17，
∴BD=
1
2
BC=
1
2
×
2
AC=
2
2
×17=
17
2
2
，
过点E作EG⊥BD于G，
则BG=EG=
2
2
×12=6
2
，
GD=
17
2
2
-6
2
=
5
2
2
，
在Rt△DEG中，DE=
EG2+DG2
=
(6
2
)2+(
5
2
2
)2
=
13
2
2
，
故EF=
2
DE=
2
×
13
2
2
=13．
青果学院解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，AB=AC，
∴AD⊥BC，AD=BD=CD，
∴∠BDE+∠ADE=90°，
∠ADF+∠ADE=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE和△ADF中，
∵
∠B=∠DAF=45°
AD=BD
∠BDE=∠ADF
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴AF=BE，DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵BE=12，FC=5，
∴AC=AF+FC=BE+FC=12+5=17，
∴BD=
1
2
BC=
1
2
×
2
AC=
2
2
×17=
17
2
2
，
过点E作EG⊥BD于G，
则BG=EG=
2
2
×12=6
2
，
GD=
17
2
2
-6
2
=
5
2
2
，
在Rt△DEG中，DE=
EG2+DG2
=
(6
2
)2+(
5
2
2
)2
=
13
2
2
，
故EF=
2
DE=
2
×
13
2
2
=13．
考点梳理
等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
作出图形，根据等腰直角三角形的性质可得AD⊥BC，AD=BD=CD，然后根据同角的余角相等求出∠BDE=∠ADF，再利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=BE，DE=DF，然后求出BD的长，过点E作EG⊥BD于G，然后求出EG、DG，再利用勾股定理列式求出DE的长，在Rt△DEF中，利用勾股定理列式求解EF即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
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