题目:
三角形外心我们可以理解为:到三角形三个顶点距离相等的点称三角形的外心,由此,我们定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.
举例:如图1,若PA=PB,则点P为△ABC的准外心.
(1)应用:如图2,CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=
AB,求∠APB的度数.
(2)探究:已知△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,准外心P在AC边上,试探究PA的长.
答案
解:(1)①若PB=PC,连接PB,则∠PCB=∠PBC,
∵CD为等边三角形的高,
∴AD=BD,∠PCB=30°,
∴∠PBD=∠PBC=30°,
∴PD=
DB=
AB,
与已知PD=
AB矛盾,
∴PB≠PC,
②若PA=PC,连接PA,同理可得PA≠PC,
③若PA=PB,由PD=
AB,得PD=BD,

∴∠APD=45°,
故∠APB=90°;
(2)解:∵BC=5,AB=3,
∴AC=
=4,
①若PB=PC,设PA=x,则x
2+3
2=(4-x)
2,
∴x=
,即PA=
,
②若PA=PC,则PA=2,
③若PA=PB,由图知,在Rt△PAB中,不可能.
故PA=2或
.
解:(1)①若PB=PC,连接PB,则∠PCB=∠PBC,
∵CD为等边三角形的高,
∴AD=BD,∠PCB=30°,
∴∠PBD=∠PBC=30°,
∴PD=
DB=
AB,
与已知PD=
AB矛盾,
∴PB≠PC,
②若PA=PC,连接PA,同理可得PA≠PC,
③若PA=PB,由PD=
AB,得PD=BD,

∴∠APD=45°,
故∠APB=90°;
(2)解:∵BC=5,AB=3,
∴AC=
=4,
①若PB=PC,设PA=x,则x
2+3
2=(4-x)
2,
∴x=
,即PA=
,
②若PA=PC,则PA=2,
③若PA=PB,由图知,在Rt△PAB中,不可能.
故PA=2或
.