试题

如图，已知Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，P是斜边BC上的一个动点，PE⊥AB，PF⊥AC，连EF，D为BC边上中点
（1）求斜边BC的长．
（2）判断DE和DF的数量关系和位置关系，并说明你的理由．
（3）求四边形AEDF的面积．
（4）探究线段EF的最小值，并求出EF的最小值，请说明你的理由．

解：（1）在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，由勾股定理得：BC=

22+22

=2

2

．

（2）DE=DF，DE⊥DF，
理由是：∵D为BC边上中点，△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=

1

2

BC=BD，∠CAD=∠ABC=45°，
即∠FAD=∠EBD=45°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠PEA=∠AFP=∠BAC=∠EAF=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AF=PE，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB=90°，
∵∠B=45°
∴在等腰直角三角形BPE中：PE=BE=AF，
在△BDE和△ADF中，

BD=AD ∠B=∠FAD BE=AF

，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE=DF．，∠BDE=∠ADF，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∴∠EDF=90°，
∴DE⊥DF，

（3）∵△BDE≌△ADF，
∴S_△BDE=S_△ADF，
∵S_{四边形AEDF}
=S△_△ADF++S_△ADE
=S_△BDE+S_△ADE
=S_△ADB
=

1

2

S_△ABC
=

1

2

×

1

2

AB×AC
=

1

2

×

1

2

×2×2
=2．

（4）EF的最小值是

2

，
理由是：∵AE+AF=AE+BE=AC=2，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE²+AF²=EF²，
EF²=AE²+（2-AE）²=2（AE-1）²+2，
即当AE=1时，EF²的最小值是2，
即EF的最小值是

2

．
解：（1）在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，由勾股定理得：BC=

22+22

=2

2

．

（2）DE=DF，DE⊥DF，
理由是：∵D为BC边上中点，△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=

1

2

BC=BD，∠CAD=∠ABC=45°，
即∠FAD=∠EBD=45°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠PEA=∠AFP=∠BAC=∠EAF=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AF=PE，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB=90°，
∵∠B=45°
∴在等腰直角三角形BPE中：PE=BE=AF，
在△BDE和△ADF中，

BD=AD ∠B=∠FAD BE=AF

，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE=DF．，∠BDE=∠ADF，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∴∠EDF=90°，
∴DE⊥DF，

（3）∵△BDE≌△ADF，
∴S_△BDE=S_△ADF，
∵S_{四边形AEDF}
=S△_△ADF++S_△ADE
=S_△BDE+S_△ADE
=S_△ADB
=

1

2

S_△ABC
=

1

2

×

1

2

AB×AC
=

1

2

×

1

2

×2×2
=2．

（4）EF的最小值是

2

，
理由是：∵AE+AF=AE+BE=AC=2，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE²+AF²=EF²，
EF²=AE²+（2-AE）²=2（AE-1）²+2，
即当AE=1时，EF²的最小值是2，
即EF的最小值是

2

．