试题

题目：
如图，△ABC中，∠C=90°．
（1）以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形（如图①），探究S1+S2与S3的关系；
（2）以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形（如图②），探究S1+S2与S3的关系；
（3）以直角三角形的三边为直径向形外作半圆（如图③），探究S1+S2与S3的关系．
青果学院
答案
解：（1）由等边三角形的性质可得：S1=
3
4
AC2，S2=
3
4
BC2，S3=
3
4
AB2，
则S1+S2=
3
4
（AC2+BC2），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∴S1+S2=S3．

（2）由等腰直角三角形的性质可得：S1=
1
4
AC2，S2=
1
4
BC2，S3=
1
4
AB2，
则S1+S2=
1
4
（AC2+BC2），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∴S1+S2=S3．

（3）由圆的面积计算公式知：S1=
1
8
πAC2，S2=
1
8
πBC2，S3=
1
8
πAB2，
则S1+S2=
1
8
π（a2+b2），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∴S1+S2=S3．
解：（1）由等边三角形的性质可得：S1=
3
4
AC2，S2=
3
4
BC2，S3=
3
4
AB2，
则S1+S2=
3
4
（AC2+BC2），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∴S1+S2=S3．

（2）由等腰直角三角形的性质可得：S1=
1
4
AC2，S2=
1
4
BC2，S3=
1
4
AB2，
则S1+S2=
1
4
（AC2+BC2），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∴S1+S2=S3．

（3）由圆的面积计算公式知：S1=
1
8
πAC2，S2=
1
8
πBC2，S3=
1
8
πAB2，
则S1+S2=
1
8
π（a2+b2），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∴S1+S2=S3．
考点梳理
勾股定理；等边三角形的性质；等腰直角三角形．
这三道题主要在勾股定理的基础上结合具体图形的面积公式，运用等式的性质即可得到相同的结论．
本题考查了勾股定理、等边三角形的性质及等腰直角三角形的性质，关键是熟悉各种图形的面积公式，结合勾股定理，运用等式的性质进行变形．
找相似题