试题

题目：
青果学院如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°．若AB=2，则CD的长为（　　）



答案
B
青果学院解：设BE=x，则AE=AB-BE=2-x
过C作CE⊥AB，过A作AF⊥DC，
∴∠DFA=∠CEA=90°，
∵∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°，
∴∠DCA=360°-105°-105°-45°-45°=60°，
∴∠FCA=30°，
∵∠ACB=105°，∠B=45°，
∴∠ACE=105°-45°=60°，
∴∠CAE=30°，
∴∠DAF=105°-30°-30°=60°，
∵AB=2，
∴CE=BE=x，
∴
x
2-x
=
3
3
，
∴x=
3
-1，
∴AC=2x=2
3
-2，
∴AF=
AC2-CF2
=3-
3
，
∵∠D=∠DAF=45°，
∴AF=DF=3-
3
，
∴DC=CF+DF=
3
-1+3-
3
=2，
故选B．
考点梳理
勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．
设BE=x，则AE=AB-BE=2-x过C作CE⊥AB，过A作AF⊥DC，利用四边形的内角和求出∠DCA的度数，进而求出∠FCA=30°，∠CAE=30°，∠DAF=105°-30°-30°=60°，再利用直角三角形的性质和锐角三角形函数以及勾股定理即可求出CD的长．
本题考查了四边形的内角和、三角形的内角和、含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理的运用．
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